유도 방출 (Stimulated Emission)

1. 서론

유도 방출(stimulated emission)은 들뜬 상태(excited state)의 원자가 외부 광자의 자극에 의해 동일한 에너지, 위상, 방향, 편광을 가진 광자를 방출하며 바닥 상태로 전이하는 과정이다. 아인슈타인(Albert Einstein, 1917)이 흑체 복사의 열평형 조건으로부터 이론적으로 예측한 이 현상은 레이저(LASER: Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation)의 물리적 기초이다.

2. 세 가지 복사 과정

정의6.1아인슈타인의 세 가지 복사 과정

두 에너지 준위 $E_1$ (하부)과 $E_2$ (상부), $E_2 - E_1 = h\nu$ 를 가진 원자계에서 세 가지 기본 복사 과정이 존재한다:

1. 흡수 (Absorption): 하부 준위의 원자가 에너지 $h\nu$ 의 광자를 흡수하여 상부 준위로 전이한다.

\text{전이율:} \quad R_{12}^{\text{abs}} = B_{12}\, \rho(\nu)\, N_1

2. 자발 방출 (Spontaneous Emission): 상부 준위의 원자가 자발적으로 광자를 방출하며 하부 준위로 전이한다.

\text{전이율:} \quad R_{21}^{\text{sp}} = A_{21}\, N_2

3. 유도 방출 (Stimulated Emission): 외부 복사장의 자극에 의해 상부 준위의 원자가 광자를 방출하며 하부 준위로 전이한다.

\text{전이율:} \quad R_{21}^{\text{st}} = B_{21}\, \rho(\nu)\, N_2

여기서 $\rho(\nu)$ 는 주파수 $\nu$ 에서의 복사 에너지 밀도, $N_1$ , $N_2$ 는 각 준위의 원자 수 밀도, $A_{21}$ , $B_{12}$ , $B_{21}$ 은 아인슈타인 계수이다.

3. 유도 방출의 핵심 성질

유도 방출된 광자는 자극 광자와 다음 네 가지 성질을 공유한다:

동일 주파수 ( $\nu$ ): 에너지 보존에 의해 보장
동일 위상 ( $\phi$ ): 유도 방출의 양자역학적 결과
동일 전파 방향 ( $\hat{\mathbf{k}}$ ): 운동량 보존에 의해 보장
동일 편광 상태: 전이 행렬 요소의 대칭성에 의해 보장

이러한 성질에 의해 유도 방출은 결맞는 증폭(coherent amplification)을 가능하게 한다. 이는 자발 방출(무작위 방향, 무작위 위상)과 근본적으로 다르다.

4. 양자역학적 기술

유도유도 방출 확률의 양자역학적 유도

시간 의존 섭동 이론(time-dependent perturbation theory)에서, 전기 쌍극자 근사(electric dipole approximation) 하의 전이 확률은:

단일 모드 복사장( $\mathbf{E} = E_0 \hat{\boldsymbol{\epsilon}}\cos(\omega t)$ )에 의한 전이율은 페르미 황금률(Fermi's golden rule)에 의해:

W_{21} = \frac{\pi}{3\epsilon_0 \hbar^2} |\langle 1 | \mathbf{d} | 2 \rangle|^2\, \rho(\nu)

여기서 $\mathbf{d} = e\mathbf{r}$ 은 전기 쌍극자 모멘트 연산자이다.

양자 전기역학(QED)에서 복사장을 양자화하면, 모드당 $n$ 개의 광자가 있을 때:

W_{21}^{\text{st}} \propto n, \qquad W_{21}^{\text{sp}} \propto 1

즉, 유도 방출율은 광자 수에 비례하고, 자발 방출은 진공 요동(vacuum fluctuation)에 의해 광자 수와 무관하게 일어난다. 전체 방출율은:

W_{21}^{\text{total}} = W_{21}^{\text{sp}}(n + 1)

여기서 $n$ 은 자극 모드의 광자 점유 수(photon occupation number)이다.

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5. 광 증폭

정의6.2이득 계수

매질을 통과하는 단색광의 세기 변화는 이득 계수(gain coefficient) $\gamma(\nu)$ 로 기술된다:

\frac{dI}{dz} = \gamma(\nu)\, I(z)

I(z) = I(0)\, e^{\gamma(\nu) z}

이득 계수는:

\gamma(\nu) = \frac{A_{21} \lambda^2}{8\pi} (N_2 - g_2 N_1 / g_1)\, g(\nu)

여기서 $g_1$ , $g_2$ 는 각 준위의 축퇴도(degeneracy), $g(\nu)$ 는 정규화된 선형 함수(lineshape function)이다.

$\gamma > 0$ (광 증폭)의 조건은 $N_2 > (g_2/g_1)N_1$ , 즉 밀도 반전(population inversion)이 필요하다.

열평형에서 볼츠만 분포에 의해 항상 $N_2 < N_1$ 이므로, 밀도 반전은 열평형에서 벗어난 비평형 상태이다. 이를 달성하는 것이 레이저 실현의 핵심 과제이다.

6. 이득 포화

정의6.3이득 포화

입사 세기가 강해지면 유도 방출에 의한 상부 준위 소모(depletion)가 증가하여 이득이 감소한다. 이를 이득 포화(gain saturation)라 한다.

균일 넓혀짐(homogeneous broadening)의 경우:

\gamma(\nu) = \frac{\gamma_0(\nu)}{1 + I/I_{\text{sat}}}

여기서 $\gamma_0(\nu)$ 는 소신호 이득(small-signal gain), 포화 세기(saturation intensity)는:

I_{\text{sat}} = \frac{h\nu}{\sigma_{21}\, \tau_{\text{eff}}}

$\sigma_{21}$ 은 유도 방출 단면적(stimulated emission cross-section), $\tau_{\text{eff}}$ 는 유효 상부 준위 수명이다.

참고자발 방출과 레이저 잡음

자발 방출은 레이저 잡음의 근본적 원천이다. 자발 방출에 의해 공진기 내 모든 모드에 무작위 광자가 추가되며, 이는 레이저 출력의 위상과 진폭에 요동을 일으킨다. 샤블로-타운스 한계(Schawlow-Townes limit)는 자발 방출에 의한 레이저 선폭의 근본적 하한을 제공한다:

\Delta\nu_{\text{ST}} = \frac{\pi h\nu (\Delta\nu_c)^2}{P_{\text{out}}}

여기서 $\Delta\nu_c$ 는 공진기 선폭, $P_{\text{out}}$ 은 출력이다.