레이저 공진기 (Laser Cavity)

1. 서론

레이저 공진기(laser cavity, optical resonator)는 이득 매질을 포함하는 광학 피드백(feedback) 구조로서, 빛이 반복적으로 왕복하며 증폭되는 공간이다. 공진기는 레이저의 출력 모드(종모드 및 횡모드), 발진 임계값, 빔 품질을 결정하는 핵심 요소이다.

2. 파브리-페로 공진기

정의6.7파브리-페로 레이저 공진기

가장 기본적인 레이저 공진기는 두 거울(반사도 $R_1$ , $R_2$ )이 거리 $L$ 만큼 떨어진 파브리-페로 구조(Fabry-Perot structure)이다. 빛이 한 번 왕복하는 동안의 순 이득 조건은:

R_1 R_2\, e^{2(\gamma - \alpha_i)L} \geq 1

여기서 $\gamma$ 는 이득 계수, $\alpha_i$ 는 내부 손실 계수이다.

발진 임계 이득(threshold gain)은:

\gamma_{\text{th}} = \alpha_i + \frac{1}{2L}\ln\!\left(\frac{1}{R_1 R_2}\right) = \alpha_i + \alpha_m

여기서 $\alpha_m = \frac{1}{2L}\ln(1/R_1 R_2)$ 는 거울 손실(mirror loss)이다.

3. 종모드

정의6.8종모드

공진기의 종모드(longitudinal mode)는 두 거울 사이에 정재파(standing wave)가 형성되는 조건을 만족하는 주파수이다:

\nu_q = q \cdot \frac{c}{2nL}, \qquad q = 1, 2, 3, \ldots

여기서 $q$ 는 모드 차수(mode number), $n$ 은 공진기 내부 매질의 굴절률이다. 인접 종모드 사이의 주파수 간격은:

\Delta\nu_{\text{FSR}} = \frac{c}{2nL}

이를 자유 스펙트럼 범위(Free Spectral Range, FSR)라 한다.

예제He-Ne 레이저의 종모드

He-Ne 레이저 공진기의 길이가 $L = 30\,\text{cm}$ , $n \approx 1$ 일 때:

\Delta\nu_{\text{FSR}} = \frac{3 \times 10^8}{2 \times 0.30} = 500\,\text{MHz}

Ne의 632.8 nm 천이 선폭이 약 $\Delta\nu_D \approx 1.5\,\text{GHz}$ (도플러 넓혀짐)이므로, 이득 곡선 안에 약 $1.5\,\text{GHz} / 500\,\text{MHz} = 3$ 개의 종모드가 발진할 수 있다.

단일 종모드 작동을 위해서는 에탈론(etalon)을 공진기 내부에 삽입하거나 공진기 길이를 줄여야 한다.

4. 횡모드와 가우시안 빔

정의6.9가우시안 빔과 TEM 모드

안정 공진기(stable resonator)의 횡모드(transverse mode)는 헬름홀츠 방정식의 근축 해로 기술된다. 직교 좌표계에서 에르미트-가우스(Hermite-Gaussian) 모드, 원통 좌표계에서 라게르-가우스(Laguerre-Gaussian) 모드로 표현된다.

기본 모드 **TEM $_{00}$ **의 전기장 분포는:

E(r, z) = E_0 \frac{w_0}{w(z)} \exp\!\left(-\frac{r^2}{w^2(z)}\right) \exp\!\left[-i\left(kz - \zeta(z) + \frac{kr^2}{2R(z)}\right)\right]

여기서:

$w(z) = w_0\sqrt{1 + (z/z_R)^2}$ : 빔 반지름 (beam radius)
$w_0$ : 빔 허리 반지름 (beam waist)
$z_R = \pi w_0^2/\lambda$ : 레일리 거리 (Rayleigh range)
$R(z) = z[1 + (z_R/z)^2]$ : 파면 곡률 반지름
$\zeta(z) = \arctan(z/z_R)$ : 구이 위상 (Gouy phase)

가우시안 빔의 핵심 성질:

발산각 (far-field divergence):

\theta_{\text{div}} = \frac{\lambda}{\pi w_0}

빔 허리-발산각 곱 (beam parameter product):

w_0 \cdot \theta_{\text{div}} = \frac{\lambda}{\pi} = \text{const}

이는 회절 한계(diffraction-limited) 빔의 불변량이다.

5. 공진기 안정성

정의6.10공진기 안정성 조건

곡률 반지름 $R_1$ , $R_2$ 인 두 거울로 구성된 공진기의 안정성 매개변수(stability parameters)는:

g_1 = 1 - \frac{L}{R_1}, \qquad g_2 = 1 - \frac{L}{R_2}

공진기가 안정한 조건, 즉 광선이 유한 횟수의 왕복 후에도 공진기를 벗어나지 않는 조건은:

\boxed{0 \leq g_1 g_2 \leq 1}

유도안정성 조건의 유도

광선 전달 행렬 방법에서, 한 번 왕복의 전달 행렬은:

\mathbf{M}_{\text{RT}} = \mathbf{M}_1 \cdot \mathbf{M}_{\text{free}} \cdot \mathbf{M}_2 \cdot \mathbf{M}_{\text{free}}

여기서 $\mathbf{M}_i = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2/R_i & 1 \end{pmatrix}$ 는 거울, $\mathbf{M}_{\text{free}} = \begin{pmatrix} 1 & L \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 는 자유 전파이다.

광선이 안정적으로 갇히려면 $\mathbf{M}_{\text{RT}}$ 의 고유값이 단위원 위에 있어야 한다:

|\text{tr}(\mathbf{M}_{\text{RT}})| \leq 2

계산하면 $\text{tr}(\mathbf{M}_{\text{RT}}) = 2(2g_1 g_2 - 1)$ 이므로:

|2(2g_1 g_2 - 1)| \leq 2 \quad \Longrightarrow \quad 0 \leq g_1 g_2 \leq 1

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주요 공진기 형태:

| 구성 | $g_1 g_2$ | 안정성 | |------|-----------|--------| | 평면-평면 ( $R_1 = R_2 = \infty$ ) | 1 | 경계 | | 등초점 ( $R_1 = R_2 = L$ ) | 0 | 경계 | | 등곡률 ( $R_1 = R_2 = 2L$ ) | 1/4 | 안정 | | 반구형 ( $R_1 = \infty$ , $R_2 = L$ ) | 0 | 경계 | | 볼록-오목 ( $g_1 g_2 > 1$ ) | $>1$ | 불안정 |

6. 불안정 공진기

참고불안정 공진기의 응용

$g_1 g_2 > 1$ 또는 $g_1 g_2 < 0$ 인 불안정 공진기(unstable resonator)에서는 광선이 왕복할 때마다 축에서 멀어진다. 이는 단점이 아니라, 고출력 레이저에서 다음과 같은 장점을 제공한다:

큰 모드 부피: 이득 매질의 전체 단면적을 효율적으로 활용
높은 출력 결합: 거울 모서리를 넘어 빛이 자연스럽게 추출됨
단일 횡모드: 손실이 높은 고차 모드가 자연 억제됨

불안정 공진기의 확대율(magnification) $M$ 에 대해 출력 결합 비율은:

\delta_{\text{out}} = 1 - \frac{1}{M^2}

고출력 CO $_2$ 레이저, 화학 레이저, 엑시머 레이저 등에서 주로 사용된다.