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물리학 강의 노트

법칙완성

아인슈타인 A·B 계수 (Einstein A and B Coefficients)

1. 서론

1917년 아인슈타인(Albert Einstein)은 흑체 복사(blackbody radiation)의 플랑크 공식을 열평형 조건에서의 세부 균형(detailed balance)으로부터 재유도하는 과정에서, 물질과 복사장 사이의 상호작용을 기술하는 세 가지 현상학적 계수를 도입하였다. 이 계수들은 양자 광학과 레이저 물리의 기초를 형성한다.

2. 아인슈타인 계수의 정의

법칙6.1아인슈타인의 복사 이론

에너지 E1<E2E_1 < E_2인 두 준위를 가진 원자계에서, 단위 시간당 전이율은 다음과 같이 정의된다:

자발 방출 계수 A21A_{21}:

(dN2dt)sp=−A21 N2\left(\frac{dN_2}{dt}\right)_{\text{sp}} = -A_{21}\, N_2

A21A_{21}은 상부 준위 원자가 자발적으로 광자를 방출하며 하부 준위로 전이하는 확률(단위: s−1\text{s}^{-1})이다. A21−1=τspA_{21}^{-1} = \tau_{\text{sp}}는 자발 방출 수명(spontaneous emission lifetime)이다.

유도 흡수 계수 B12B_{12}:

(dN1dt)abs=−B12 ρ(ν) N1\left(\frac{dN_1}{dt}\right)_{\text{abs}} = -B_{12}\, \rho(\nu)\, N_1

유도 방출 계수 B21B_{21}:

(dN2dt)st=−B21 ρ(ν) N2\left(\frac{dN_2}{dt}\right)_{\text{st}} = -B_{21}\, \rho(\nu)\, N_2

여기서 ρ(ν)\rho(\nu)는 주파수 ν\nu에서의 스펙트럼 에너지 밀도(J⋅m−3⋅Hz−1\text{J}\cdot\text{m}^{-3}\cdot\text{Hz}^{-1})이다.

3. 아인슈타인 관계식의 유도

유도아인슈타인 관계식

열평형에서 상부 준위와 하부 준위 사이의 전이율이 같아야 한다 (세부 균형 원리, principle of detailed balance):

B12 ρ(ν) N1=A21 N2+B21 ρ(ν) N2B_{12}\, \rho(\nu)\, N_1 = A_{21}\, N_2 + B_{21}\, \rho(\nu)\, N_2

ρ(ν)\rho(\nu)에 대해 풀면:

ρ(ν)=A21/B21(B12/B21)(N1/N2)−1\rho(\nu) = \frac{A_{21}/B_{21}}{(B_{12}/B_{21})(N_1/N_2) - 1}

열평형에서 볼츠만 분포:

N1N2=g1g2ehν/kBT\frac{N_1}{N_2} = \frac{g_1}{g_2} e^{h\nu/k_B T}

를 대입하면:

ρ(ν)=A21/B21(g1B12)/(g2B21) ehν/kBT−1\rho(\nu) = \frac{A_{21}/B_{21}}{(g_1 B_{12})/(g_2 B_{21})\, e^{h\nu/k_BT} - 1}

이것이 플랑크 분포와 일치해야 한다:

ρ(ν)=8πhν3c3⋅1ehν/kBT−1\rho(\nu) = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3} \cdot \frac{1}{e^{h\nu/k_BT} - 1}

두 식의 비교로부터 아인슈타인 관계식이 얻어진다:

g1B12=g2B21\boxed{g_1 B_{12} = g_2 B_{21}}A21B21=8πhν3c3\boxed{\frac{A_{21}}{B_{21}} = \frac{8\pi h\nu^3}{c^3}}
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첫 번째 관계식은 유도 흡수와 유도 방출이 본질적으로 같은 과정(시간 역전 대칭)임을 보여준다. 두 번째 관계식은 A21/B21∝ν3A_{21}/B_{21} \propto \nu^3으로, 높은 주파수(짧은 파장)에서 자발 방출이 상대적으로 훨씬 중요해짐을 나타낸다.

4. 양자역학적 계산

유도전기 쌍극자 천이의 A 계수

양자 전기역학(QED)에서 자발 방출 계수는 전이 쌍극자 모멘트(transition dipole moment)로 표현된다:

A21=ω33πϵ0ℏc3∣⟨1∣d∣2⟩∣2A_{21} = \frac{\omega^3}{3\pi\epsilon_0 \hbar c^3} |\langle 1 | \mathbf{d} | 2 \rangle|^2

여기서 d=er\mathbf{d} = e\mathbf{r}은 전기 쌍극자 연산자이다.

전이가 등방적(isotropic)일 때, 천이 쌍극자 모멘트의 제곱 평균을 ∣μ12∣2=∣⟨1∣d∣2⟩∣2|\mu_{12}|^2 = |\langle 1 | \mathbf{d} | 2 \rangle|^2로 쓰면:

A21=16π3ν33ϵ0hc3∣μ12∣2A_{21} = \frac{16\pi^3 \nu^3}{3\epsilon_0 h c^3} |\mu_{12}|^2

이로부터 B21B_{21}도 결정된다:

B21=A21c38πhν3=2π23ϵ0h2∣μ12∣2B_{21} = \frac{A_{21} c^3}{8\pi h\nu^3} = \frac{2\pi^2}{3\epsilon_0 h^2} |\mu_{12}|^2

진동자 세기(oscillator strength) f12f_{12}와의 관계:

f12=2meω3ℏ∣μ12∣2/e2f_{12} = \frac{2m_e \omega}{3\hbar} |\mu_{12}|^2 / e^2A21=e2ω22πϵ0mec3⋅g1g2f12A_{21} = \frac{e^2 \omega^2}{2\pi\epsilon_0 m_e c^3} \cdot \frac{g_1}{g_2} f_{12}
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5. 주파수 영역별 분석

예제아인슈타인 계수의 주파수 의존성과 레이저 실현 난이도

A/BA/B 비가 ν3\nu^3에 비례하므로, 주파수가 높아질수록 자발 방출이 지배적이 되어 밀도 반전의 유지와 레이저 발진이 어려워진다.

마이크로파 영역 (ν∼10 GHz\nu \sim 10\,\text{GHz}):

A21/B21∼10−12 J⋅s⋅m−3A_{21}/B_{21} \sim 10^{-12}\,\text{J}\cdot\text{s}\cdot\text{m}^{-3}

자발 방출이 극히 미약하여 메이저(MASER)의 실현이 상대적으로 용이하다.

가시광 영역 (ν∼5×1014 Hz\nu \sim 5 \times 10^{14}\,\text{Hz}):

A21/B21∼10−2 J⋅s⋅m−3A_{21}/B_{21} \sim 10^{-2}\,\text{J}\cdot\text{s}\cdot\text{m}^{-3}

자발 방출이 상당하여 높은 임계 펌프 출력이 필요하다.

X선 영역 (ν∼1018 Hz\nu \sim 10^{18}\,\text{Hz}):

A21/B21∼1010 J⋅s⋅m−3A_{21}/B_{21} \sim 10^{10}\,\text{J}\cdot\text{s}\cdot\text{m}^{-3}

자발 방출이 압도적이어서 X선 레이저의 실현이 극히 어렵다. 이것이 X선 레이저가 가시광 레이저보다 수십 년 뒤에 실현된 이유이다.

6. 선형 함수와 넓혀짐 메커니즘

실제 원자의 천이는 단일 주파수가 아니라 유한한 스펙트럼 폭을 가진다. 이를 선형 함수(lineshape function) g(ν)g(\nu)로 기술한다.

정의6.11주요 넓혀짐 메커니즘

1. 자연 넓혀짐 (Natural broadening, 균일):

불확정성 원리에 의한 최소 선폭. 로렌츠 함수:

gN(ν)=1πγN/2(ν−ν0)2+(γN/2)2,γN=A212πg_N(\nu) = \frac{1}{\pi} \frac{\gamma_N/2}{(\nu - \nu_0)^2 + (\gamma_N/2)^2}, \qquad \gamma_N = \frac{A_{21}}{2\pi}

2. 충돌 넓혀짐 (Collision broadening, 균일):

원자 간 충돌에 의한 위상 교란. 역시 로렌츠 함수:

γC=1πτc,τc=평균 충돌 간 시간\gamma_C = \frac{1}{\pi \tau_c}, \qquad \tau_c = \text{평균 충돌 간 시간}

3. 도플러 넓혀짐 (Doppler broadening, 비균일):

열운동에 의한 주파수 이동. 가우스 함수:

gD(ν)=1ΔνD4ln⁡2πexp⁡ ⁣[−4ln⁡2(ν−ν0ΔνD)2]g_D(\nu) = \frac{1}{\Delta\nu_D}\sqrt{\frac{4\ln 2}{\pi}} \exp\!\left[-4\ln 2\left(\frac{\nu - \nu_0}{\Delta\nu_D}\right)^2\right]ΔνD=2ν0c2kBTln⁡2M\Delta\nu_D = \frac{2\nu_0}{c}\sqrt{\frac{2k_BT\ln 2}{M}}

균일 넓혀짐(homogeneous)에서는 이득 매질의 모든 원자가 동일한 주파수에서 상호작용하므로, 단일 모드가 이득을 독점하여 모드 경쟁(mode competition)이 발생한다.

비균일 넓혀짐(inhomogeneous)에서는 각 원자 그룹이 다른 주파수에서 상호작용하므로, 공간적 홀 버닝(spatial hole burning)과 스펙트럼 홀 버닝(spectral hole burning)에 의해 다중 모드 발진이 가능하다.

참고아인슈타인 계수의 현대적 의의

아인슈타인 계수는 원자 물리, 양자 광학, 천체 물리학의 핵심 도구이다. 천체물리에서 성간 매질의 원자 천이선 분석, 양자 정보에서 단일 광자 원(single-photon source) 설계, 반도체 물리에서 LED/레이저 다이오드의 효율 계산 등에 직접 활용된다. 특히 퍼셀 효과(Purcell effect) -- 공진기에 의한 자발 방출 증강/억제 -- 는 자발 방출 계수가 환경에 의존할 수 있음을 보여주며, 이는 양자 전기역학의 핵심적 예측이다:

FP=A21cavityA21free=34π2(λn)3QVmodeF_P = \frac{A_{21}^{\text{cavity}}}{A_{21}^{\text{free}}} = \frac{3}{4\pi^2}\left(\frac{\lambda}{n}\right)^3 \frac{Q}{V_{\text{mode}}}

여기서 QQ는 공진기의 Q값, VmodeV_{\text{mode}}는 모드 부피이다.