고전적 스칼라장 (Classical Scalar Field)

1. 장의 개념과 라그랑지안 역학

양자장론의 출발점은 고전적 장(classical field)이다. 입자역학에서 일반화 좌표 $q_i(t)$ 로 시스템을 기술하듯, 장론에서는 시공간의 각 점에 정의된 장 $\phi(x^\mu) = \phi(\mathbf{x}, t)$ 로 시스템을 기술한다.

정의1.1스칼라장

스칼라장(scalar field) $\phi(x)$ 는 시공간 좌표 $x^\mu = (t, \mathbf{x})$ 의 함수로, 로렌츠 변환 $x^\mu \to x'^\mu = \Lambda^\mu{}_\nu x^\nu$ 하에서 다음과 같이 변환한다:

\phi(x) \to \phi'(x') = \phi(x)

즉, 장의 값이 스칼라(불변량)로 변환되는 장이다. 이는 스핀-0 입자를 기술한다.

장론에서 역학의 기본 원리는 입자역학과 동일하게 최소작용 원리(principle of least action)이다. 다만 라그랑지안 대신 라그랑지안 밀도(Lagrangian density)를 사용한다.

2. 라그랑지안 밀도와 작용

정의1.2라그랑지안 밀도

장론의 라그랑지안 밀도 $\mathcal{L}$ 은 장 $\phi(x)$ 와 그 도함수 $\partial_\mu \phi(x)$ 의 함수이다:

\mathcal{L} = \mathcal{L}(\phi, \partial_\mu \phi)

라그랑지안과 작용(action)은 각각:

L = \int d^3x \, \mathcal{L}(\phi, \partial_\mu \phi)

S[\phi] = \int d^4x \, \mathcal{L}(\phi, \partial_\mu \phi) = \int dt \int d^3x \, \mathcal{L}

자유 실수 스칼라장의 라그랑지안 밀도는 다음과 같다:

\mathcal{L} = \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \, \partial^\mu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2

여기서 자연 단위계 $\hbar = c = 1$ 을 사용하며, 계량 텐서는 $\eta^{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1, -1, -1, -1)$ (mostly minus convention)을 채택한다. 이를 전개하면:

\mathcal{L} = \frac{1}{2} \dot{\phi}^2 - \frac{1}{2} (\nabla \phi)^2 - \frac{1}{2} m^2 \phi^2

첫째 항은 "운동 에너지", 둘째와 셋째 항은 "퍼텐셜 에너지"에 해당한다.

3. 오일러-라그랑주 방정식

최소작용 원리 $\delta S = 0$ 으로부터 장의 운동방정식을 유도할 수 있다.

유도장의 오일러-라그랑주 방정식

작용의 변분을 계산하자. $\phi \to \phi + \delta\phi$ ( $\delta\phi$ 는 경계에서 0)라 하면:

\delta S = \int d^4x \left[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \delta\phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta(\partial_\mu \phi) \right]

$\delta(\partial_\mu \phi) = \partial_\mu (\delta\phi)$ 이므로, 부분적분을 적용하면:

\delta S = \int d^4x \left[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} - \partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \right) \right] \delta\phi + \text{(경계항 = 0)}

$\delta S = 0$ 이 임의의 $\delta\phi$ 에 대해 성립하므로:

\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} - \partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \right) = 0

이것이 장의 오일러-라그랑주 방정식(Euler-Lagrange equation for fields)이다.

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자유 스칼라장 $\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2$ 에 적용하면:

\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} = -m^2\phi, \qquad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)} = \partial^\mu\phi

따라서 운동방정식은:

(\partial_\mu \partial^\mu + m^2)\phi = (\Box + m^2)\phi = 0

이것이 바로 클라인-고든 방정식(Klein-Gordon equation)이다. 여기서 $\Box \equiv \partial_\mu\partial^\mu = \partial_t^2 - \nabla^2$ 은 달랑베르시안(d'Alembertian) 연산자이다.

4. 해밀턴 형식론

정의1.3정준 운동량과 해밀턴 밀도

장 $\phi(x)$ 에 정준 켤레 운동량(canonically conjugate momentum)을 다음과 같이 정의한다:

\pi(x) \equiv \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\phi}(x)}

자유 스칼라장의 경우 $\pi(x) = \dot{\phi}(x)$ 이다. 해밀턴 밀도(Hamiltonian density)는:

\mathcal{H} = \pi \dot{\phi} - \mathcal{L} = \frac{1}{2}\pi^2 + \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 + \frac{1}{2}m^2\phi^2

전체 해밀토니안은:

H = \int d^3x \, \mathcal{H} = \int d^3x \left[ \frac{1}{2}\pi^2 + \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 + \frac{1}{2}m^2\phi^2 \right]

해밀턴 밀도의 세 항은 모두 양수이므로, 에너지 $H \geq 0$ 이 보장된다. 이는 스칼라장 이론의 안정성에 핵심적이다.

5. 뇌터 정리와 보존류

정의1.4뇌터 정리 (장론 버전)

뇌터 정리(Noether's theorem): 작용 $S$ 가 연속 대칭 변환 $\phi \to \phi + \alpha\,\delta\phi$ 에 대해 불변이면, 대응하는 보존류(conserved current) $j^\mu$ 가 존재한다:

j^\mu = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)} \delta\phi - K^\mu, \qquad \partial_\mu j^\mu = 0

여기서 $K^\mu$ 는 $\delta\mathcal{L} = \partial_\mu K^\mu$ 를 만족하는 항이다. 대응하는 보존 전하(conserved charge)는:

Q = \int d^3x \, j^0, \qquad \frac{dQ}{dt} = 0

예제시공간 병진 대칭과 에너지-운동량 텐서

시공간 병진 $x^\mu \to x^\mu + a^\mu$ 에 대한 불변성으로부터 에너지-운동량 텐서(energy-momentum tensor)가 유도된다:

T^{\mu\nu} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)} \partial^\nu\phi - \eta^{\mu\nu}\mathcal{L}

자유 스칼라장의 경우:

T^{\mu\nu} = \partial^\mu\phi\,\partial^\nu\phi - \eta^{\mu\nu}\left(\frac{1}{2}\partial_\alpha\phi\,\partial^\alpha\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2\right)

$T^{00} = \mathcal{H} = \frac{1}{2}\dot{\phi}^2 + \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 + \frac{1}{2}m^2\phi^2$ (에너지 밀도)
$T^{0i} = \dot{\phi}\,\partial^i\phi$ (운동량 밀도)

보존 법칙 $\partial_\mu T^{\mu\nu} = 0$ 은 에너지와 운동량 보존을 나타낸다.

6. 평면파 전개

클라인-고든 방정식의 일반해는 평면파의 중첩으로 쓸 수 있다:

\phi(x) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \left( a_{\mathbf{p}} \, e^{-ip \cdot x} + a_{\mathbf{p}}^* \, e^{ip \cdot x} \right)

여기서 $\omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m^2}$ 는 각 모드의 에너지이고, $p \cdot x = \omega_{\mathbf{p}} t - \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}$ 이다. 계수 $a_{\mathbf{p}}$ 와 $a_{\mathbf{p}}^*$ 는 양자화 과정에서 소멸·생성 연산자로 승격된다.

참고질량 껍질 조건

평면파 $e^{-ip\cdot x}$ 가 클라인-고든 방정식의 해가 되려면, 4-운동량 $p^\mu$ 가 질량 껍질 조건(mass-shell condition)을 만족해야 한다:

p^\mu p_\mu = m^2 \quad \Longleftrightarrow \quad p_0^2 = |\mathbf{p}|^2 + m^2

양의 에너지 해 $p_0 = +\omega_{\mathbf{p}}$ 만 취하면, 이는 고전적 상대론적 에너지-운동량 관계 $E^2 = |\mathbf{p}|^2 + m^2$ 에 대응한다. 이 조건은 자유 입자가 살아가는 운동량 공간의 쌍곡면을 정의한다.