정준 양자화 (Canonical Quantization)
1. 양자화의 동기
고전적 스칼라장 ϕ ( x , t ) \phi(\mathbf{x},t) ϕ ( x , t ) 정준 양자화 (canonical quantization) 절차를 적용한다. 핵심 아이디어는 고전적 장 ϕ \phi ϕ π \pi π 연산자 (operator)로 승격(promote)시키고, 동시간 교환관계 (equal-time commutation relations)를 부과하는 것이다.
정의 2.1 정준 양자화
고전적 장 ϕ ( x , t ) \phi(\mathbf{x},t) ϕ ( x , t ) π ( x , t ) = ϕ ˙ ( x , t ) \pi(\mathbf{x},t) = \dot{\phi}(\mathbf{x},t) π ( x , t ) = ϕ ˙ ( x , t ) ϕ ^ ( x , t ) \hat{\phi}(\mathbf{x},t) ϕ ^ ( x , t ) π ^ ( x , t ) \hat{\pi}(\mathbf{x},t) π ^ ( x , t ) 동시간 정준 교환관계 (equal-time canonical commutation relations, ETCR)를 부과한다:
[ ϕ ^ ( x , t ) , π ^ ( y , t ) ] = i δ ( 3 ) ( x − y ) [\hat{\phi}(\mathbf{x},t), \hat{\pi}(\mathbf{y},t)] = i\delta^{(3)}(\mathbf{x} - \mathbf{y}) [ ϕ ^ ( x , t ) , π ^ ( y , t )] = i δ ( 3 ) ( x − y ) [ ϕ ^ ( x , t ) , ϕ ^ ( y , t ) ] = 0 [\hat{\phi}(\mathbf{x},t), \hat{\phi}(\mathbf{y},t)] = 0 [ ϕ ^ ( x , t ) , ϕ ^ ( y , t )] = 0 [ π ^ ( x , t ) , π ^ ( y , t ) ] = 0 [\hat{\pi}(\mathbf{x},t), \hat{\pi}(\mathbf{y},t)] = 0 [ π ^ ( x , t ) , π ^ ( y , t )] = 0 이것은 입자역학의 [ q ^ i , p ^ j ] = i δ i j [\hat{q}_i, \hat{p}_j] = i\delta_{ij} [ q ^ i , p ^ j ] = i δ ij
2. 푸리에 전개와 생성-소멸 연산자
고전적 평면파 전개에서 계수 a p , a p ∗ a_{\mathbf{p}}, a_{\mathbf{p}}^* a p , a p ∗
ϕ ^ ( x , t ) = ∫ d 3 p ( 2 π ) 3 1 2 ω p ( a ^ p e − i p ⋅ x + a ^ p † e i p ⋅ x ) \hat{\phi}(\mathbf{x},t) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \left( \hat{a}_{\mathbf{p}} \, e^{-ip\cdot x} + \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \, e^{ip\cdot x} \right) ϕ ^ ( x , t ) = ∫ ( 2 π ) 3 d 3 p 2 ω p 1 ( a ^ p e − i p ⋅ x + a ^ p † e i p ⋅ x ) π ^ ( x , t ) = ∫ d 3 p ( 2 π ) 3 ( − i ) ω p 2 ( a ^ p e − i p ⋅ x − a ^ p † e i p ⋅ x ) \hat{\pi}(\mathbf{x},t) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} (-i) \sqrt{\frac{\omega_{\mathbf{p}}}{2}} \left( \hat{a}_{\mathbf{p}} \, e^{-ip\cdot x} - \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \, e^{ip\cdot x} \right) π ^ ( x , t ) = ∫ ( 2 π ) 3 d 3 p ( − i ) 2 ω p ( a ^ p e − i p ⋅ x − a ^ p † e i p ⋅ x ) 여기서 ω p = ∣ p ∣ 2 + m 2 \omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m^2} ω p = ∣ p ∣ 2 + m 2
유도 생성-소멸 연산자의 교환관계
동시간 교환관계 [ ϕ ^ ( x , t ) , π ^ ( y , t ) ] = i δ ( 3 ) ( x − y ) [\hat{\phi}(\mathbf{x},t), \hat{\pi}(\mathbf{y},t)] = i\delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y}) [ ϕ ^ ( x , t ) , π ^ ( y , t )] = i δ ( 3 ) ( x − y )
[ ϕ ^ ( x ) , π ^ ( y ) ] = ∫ d 3 p ( 2 π ) 3 d 3 q ( 2 π ) 3 1 2 ω p ω q 2 ⋅ ( − i ) ( − [ a ^ p , a ^ q † ] e i ( p ⋅ x − q ⋅ y ) + ⋯ ) [\hat{\phi}(\mathbf{x}), \hat{\pi}(\mathbf{y})] = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{d^3q}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}} \sqrt{\frac{\omega_{\mathbf{q}}}{2}} \cdot (-i) \left( -[\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] e^{i(\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} - \mathbf{q}\cdot\mathbf{y})} + \cdots \right) [ ϕ ^ ( x ) , π ^ ( y )] = ∫ ( 2 π ) 3 d 3 p ( 2 π ) 3 d 3 q 2 ω p 1 2 ω q ⋅ ( − i ) ( − [ a ^ p , a ^ q † ] e i ( p ⋅ x − q ⋅ y ) + ⋯ ) 이 결과가 i δ ( 3 ) ( x − y ) i\delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{y}) i δ ( 3 ) ( x − y )
[ a ^ p , a ^ q † ] = ( 2 π ) 3 δ ( 3 ) ( p − q ) [\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = (2\pi)^3 \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q}) [ a ^ p , a ^ q † ] = ( 2 π ) 3 δ ( 3 ) ( p − q ) [ a ^ p , a ^ q ] = 0 , [ a ^ p † , a ^ q † ] = 0 [\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{q}}] = 0, \qquad [\hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger, \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger] = 0 [ a ^ p , a ^ q ] = 0 , [ a ^ p † , a ^ q † ] = 0 이 교환관계는 무한히 많은 독립적인 양자 조화진동자 의 교환관계와 정확히 같다.
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3. 포크 공간과 입자 해석
정의 2.2 포크 공간
포크 공간 (Fock space) F \mathcal{F} F ∣ 0 ⟩ |0\rangle ∣0 ⟩
F = ⨁ n = 0 ∞ H n ( sym ) \mathcal{F} = \bigoplus_{n=0}^{\infty} \mathcal{H}_n^{(\text{sym})} F = n = 0 ⨁ ∞ H n ( sym ) 여기서 H n ( sym ) \mathcal{H}_n^{(\text{sym})} H n ( sym ) n n n
진공 상태 : a ^ p ∣ 0 ⟩ = 0 \hat{a}_{\mathbf{p}} |0\rangle = 0 a ^ p ∣0 ⟩ = 0 p \mathbf{p} p 1-입자 상태 : ∣ p ⟩ = 2 ω p a ^ p † ∣ 0 ⟩ |\mathbf{p}\rangle = \sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}} \, \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger |0\rangle ∣ p ⟩ = 2 ω p a ^ p † ∣0 ⟩ n n n ∣ p 1 , … , p n ⟩ = 2 ω p 1 ⋯ 2 ω p n a ^ p 1 † ⋯ a ^ p n † ∣ 0 ⟩ |\mathbf{p}_1, \ldots, \mathbf{p}_n\rangle = \sqrt{2\omega_{\mathbf{p}_1}} \cdots \sqrt{2\omega_{\mathbf{p}_n}} \, \hat{a}_{\mathbf{p}_1}^\dagger \cdots \hat{a}_{\mathbf{p}_n}^\dagger |0\rangle ∣ p 1 , … , p n ⟩ = 2 ω p 1 ⋯ 2 ω p n a ^ p 1 † ⋯ a ^ p n † ∣0 ⟩ 1-입자 상태의 로렌츠 불변 규격화는:
⟨ p ∣ q ⟩ = 2 ω p ( 2 π ) 3 δ ( 3 ) ( p − q ) \langle \mathbf{p} | \mathbf{q} \rangle = 2\omega_{\mathbf{p}} (2\pi)^3 \delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q}) ⟨ p ∣ q ⟩ = 2 ω p ( 2 π ) 3 δ ( 3 ) ( p − q ) 이 규격화는 로렌츠 불변 측도 ∫ d 3 p ( 2 π ) 3 1 2 ω p \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{2\omega_{\mathbf{p}}} ∫ ( 2 π ) 3 d 3 p 2 ω p 1
4. 해밀토니안과 정규 순서
양자화된 해밀토니안은:
H ^ = ∫ d 3 p ( 2 π ) 3 ω p ( a ^ p † a ^ p + 1 2 [ a ^ p , a ^ p † ] ) \hat{H} = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \, \omega_{\mathbf{p}} \left( \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}} + \frac{1}{2} [\hat{a}_{\mathbf{p}}, \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger] \right) H ^ = ∫ ( 2 π ) 3 d 3 p ω p ( a ^ p † a ^ p + 2 1 [ a ^ p , a ^ p † ] ) 두 번째 항은 1 2 ω p ⋅ ( 2 π ) 3 δ ( 3 ) ( 0 ) \frac{1}{2}\omega_{\mathbf{p}} \cdot (2\pi)^3\delta^{(3)}(\mathbf{0}) 2 1 ω p ⋅ ( 2 π ) 3 δ ( 3 ) ( 0 ) 진공 에너지 (vacuum energy)이다.
정의 2.3 정규 순서 (Normal Ordering)
정규 순서 (normal ordering) : O ^ : :\!\hat{O}\!: : O ^ : O ^ \hat{O} O ^ a ^ † \hat{a}^\dagger a ^ † a ^ \hat{a} a ^
: a ^ p a ^ q † : = a ^ q † a ^ p :\!\hat{a}_{\mathbf{p}} \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger\!: \;= \hat{a}_{\mathbf{q}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}} : a ^ p a ^ q † : = a ^ q † a ^ p 정규 순서를 적용한 해밀토니안은:
: H ^ : = ∫ d 3 p ( 2 π ) 3 ω p a ^ p † a ^ p :\!\hat{H}\!: \;= \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \, \omega_{\mathbf{p}} \, \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}} : H ^ : = ∫ ( 2 π ) 3 d 3 p ω p a ^ p † a ^ p 이제 : H ^ : ∣ 0 ⟩ = 0 :\!\hat{H}\!: |0\rangle = 0 : H ^ : ∣0 ⟩ = 0
참고 진공 에너지의 물리적 의미
정규 순서로 제거한 무한 진공 에너지 1 2 ∑ p ω p \frac{1}{2}\sum_{\mathbf{p}} \omega_{\mathbf{p}} 2 1 ∑ p ω p 카시미르 효과 (Casimir effect)는 진공 에너지의 차이가 측정 가능한 물리적 효과임을 보여준다. 또한 일반상대론에서 이 진공 에너지는 우주상수 문제 (cosmological constant problem)의 핵심이다. 관측된 우주상수는 양자장론 예측보다 ∼ 10 120 \sim 10^{120} ∼ 1 0 120
5. 수 연산자와 운동량 연산자
수 연산자 (number operator)는 각 모드의 입자 수를 세는 연산자이다:
N ^ = ∫ d 3 p ( 2 π ) 3 a ^ p † a ^ p \hat{N} = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \, \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}} N ^ = ∫ ( 2 π ) 3 d 3 p a ^ p † a ^ p 정규 순서 해밀토니안은 : H ^ : = ∫ d 3 p ( 2 π ) 3 ω p a ^ p † a ^ p :\!\hat{H}\!: = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \, \omega_{\mathbf{p}} \, \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}} : H ^ := ∫ ( 2 π ) 3 d 3 p ω p a ^ p † a ^ p ω p \omega_{\mathbf{p}} ω p a ^ p † a ^ p \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}} a ^ p † a ^ p
3-운동량 연산자는:
P ^ = ∫ d 3 p ( 2 π ) 3 p a ^ p † a ^ p \hat{\mathbf{P}} = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \, \mathbf{p} \, \hat{a}_{\mathbf{p}}^\dagger \hat{a}_{\mathbf{p}} P ^ = ∫ ( 2 π ) 3 d 3 p p a ^ p † a ^ p 이로부터 1-입자 상태의 4-운동량은:
P ^ μ ∣ p ⟩ = p μ ∣ p ⟩ , p μ = ( ω p , p ) \hat{P}^\mu |\mathbf{p}\rangle = p^\mu |\mathbf{p}\rangle, \qquad p^\mu = (\omega_{\mathbf{p}}, \mathbf{p}) P ^ μ ∣ p ⟩ = p μ ∣ p ⟩ , p μ = ( ω p , p ) 이것은 질량 m m m p μ p μ = m 2 p^\mu p_\mu = m^2 p μ p μ = m 2
6. 인과율과 미시적 인과성
정의 2.4 미시적 인과성
미시적 인과성 (microcausality)이란, 공간유사 간격(spacelike separation) ( x − y ) 2 < 0 (x-y)^2 < 0 ( x − y ) 2 < 0
[ ϕ ^ ( x ) , ϕ ^ ( y ) ] = 0 for ( x − y ) 2 < 0 [\hat{\phi}(x), \hat{\phi}(y)] = 0 \quad \text{for } (x - y)^2 < 0 [ ϕ ^ ( x ) , ϕ ^ ( y )] = 0 for ( x − y ) 2 < 0 이 조건은 인과적으로 연결되지 않은 두 사건에서의 측정이 서로 독립적임을 보장한다.
실수 스칼라장에 대해 교환자를 계산하면:
[ ϕ ^ ( x ) , ϕ ^ ( y ) ] = ∫ d 3 p ( 2 π ) 3 1 2 ω p ( e − i p ⋅ ( x − y ) − e i p ⋅ ( x − y ) ) ≡ i Δ ( x − y ) [\hat{\phi}(x), \hat{\phi}(y)] = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{2\omega_{\mathbf{p}}} \left( e^{-ip\cdot(x-y)} - e^{ip\cdot(x-y)} \right) \equiv i\Delta(x-y) [ ϕ ^ ( x ) , ϕ ^ ( y )] = ∫ ( 2 π ) 3 d 3 p 2 ω p 1 ( e − i p ⋅ ( x − y ) − e i p ⋅ ( x − y ) ) ≡ i Δ ( x − y ) Δ ( x − y ) \Delta(x-y) Δ ( x − y ) 파울리-요르단 함수 (Pauli-Jordan function)이며, 로렌츠 불변이다. ( x − y ) 2 < 0 (x-y)^2 < 0 ( x − y ) 2 < 0 Δ ( x − y ) = 0 \Delta(x-y) = 0 Δ ( x − y ) = 0