전파함수 (Propagator)

1. 전파함수의 동기

양자장론에서 전파함수(propagator)는 시공간의 한 점에서 생성된 입자가 다른 점으로 전파되는 확률 진폭을 기술한다. 이는 섭동론 계산의 핵심 구성 요소이며, 파인만 도형에서 내부선(internal line)에 해당한다.

정의3.1파인만 전파함수

실수 스칼라장 $\hat{\phi}(x)$ 에 대한 파인만 전파함수(Feynman propagator) $D_F(x-y)$ 는 다음과 같이 정의된다:

D_F(x - y) \equiv \langle 0 | T\{\hat{\phi}(x) \hat{\phi}(y)\} | 0 \rangle

여기서 $T$ 는 시간 순서 곱(time-ordered product)이다:

T\{\hat{\phi}(x)\hat{\phi}(y)\} = \begin{cases} \hat{\phi}(x)\hat{\phi}(y) & \text{if } x^0 > y^0 \\ \hat{\phi}(y)\hat{\phi}(x) & \text{if } y^0 > x^0 \end{cases}

즉, 시간적으로 나중인 연산자가 왼쪽에 오도록 정렬한다.

2. 전파함수의 계산

유도파인만 전파함수의 운동량 공간 표현

장의 모드 전개를 대입하여 직접 계산하자. $x^0 > y^0$ 인 경우:

\langle 0 | \hat{\phi}(x)\hat{\phi}(y) | 0 \rangle = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{2\omega_{\mathbf{p}}} e^{-ip\cdot(x-y)}

$y^0 > x^0$ 인 경우:

\langle 0 | \hat{\phi}(y)\hat{\phi}(x) | 0 \rangle = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{2\omega_{\mathbf{p}}} e^{ip\cdot(x-y)}

이 두 경우를 하나의 4-운동량 적분으로 합치면:

D_F(x - y) = \int \frac{d^4p}{(2\pi)^4} \frac{i}{p^2 - m^2 + i\epsilon} \, e^{-ip\cdot(x-y)}

여기서 $\epsilon \to 0^+$ 는 무한소 양의 실수로, 파인만 $i\epsilon$ 처방(Feynman $i\epsilon$ prescription)이라 한다. 이 처방이 시간 순서를 자동으로 구현한다.

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운동량 공간에서 파인만 전파함수는 간단한 형태이다:

\widetilde{D}_F(p) = \frac{i}{p^2 - m^2 + i\epsilon}

이 표현은 $p^2 = m^2$ (질량 껍질)에서 극(pole)을 가지며, $i\epsilon$ 처방은 이 극의 우회 방향을 결정한다.

3. $i\epsilon$ 처방의 의미

참고$i\epsilon$ 처방과 경계 조건

$i\epsilon$ 처방은 다음과 같은 물리적 경계 조건과 동치이다:

양의 주파수 성분 ( $e^{-i\omega t}$ )은 미래로 전파 ( $t > 0$ )
음의 주파수 성분 ( $e^{+i\omega t}$ )은 과거로 전파 ( $t < 0$ )

이를 $p^0$ 복소평면에서 보면, $p^0 = +\omega_{\mathbf{p}} - i\epsilon$ 과 $p^0 = -\omega_{\mathbf{p}} + i\epsilon$ 에 극이 위치한다. 즉:

양의 에너지 극은 실수축 아래
음의 에너지 극은 실수축 위

$t > 0$ 일 때 아래 반원 경로로, $t < 0$ 일 때 위 반원 경로로 닫아 유수 정리를 적용하면 시간 순서 곱이 자연스럽게 나온다.

4. 그린 함수로서의 전파함수

파인만 전파함수는 클라인-고든 방정식의 그린 함수(Green's function)이기도 하다:

(\Box_x + m^2) D_F(x - y) = -i\delta^{(4)}(x - y)

유도전파함수가 그린 함수임의 증명

운동량 공간 표현에서 출발한다:

(\Box_x + m^2) D_F(x - y) = \int \frac{d^4p}{(2\pi)^4} \frac{i}{p^2 - m^2 + i\epsilon} (\Box_x + m^2) e^{-ip\cdot(x-y)}

$\Box_x \, e^{-ip\cdot(x-y)} = -p^2 \, e^{-ip\cdot(x-y)}$ 이므로:

= \int \frac{d^4p}{(2\pi)^4} \frac{i(-p^2 + m^2)}{p^2 - m^2 + i\epsilon} e^{-ip\cdot(x-y)} = \int \frac{d^4p}{(2\pi)^4} (-i) \, e^{-ip\cdot(x-y)} = -i\delta^{(4)}(x - y)

따라서 $D_F(x-y)$ 는 클라인-고든 연산자의 그린 함수이다. 이 사실은 섭동론에서 상호작용을 포함한 장방정식을 반복적으로 풀 때 핵심적으로 사용된다.

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5. 다른 전파함수들

파인만 전파함수 외에도 여러 종류의 전파함수가 있다:

정의3.2지연 전파함수와 선행 전파함수

지연 전파함수(retarded propagator)와 선행 전파함수(advanced propagator)는:

D_R(x - y) = \theta(x^0 - y^0) \langle 0 | [\hat{\phi}(x), \hat{\phi}(y)] | 0 \rangle

D_A(x - y) = -\theta(y^0 - x^0) \langle 0 | [\hat{\phi}(x), \hat{\phi}(y)] | 0 \rangle

운동량 공간에서:

\widetilde{D}_R(p) = \frac{i}{(p^0 + i\epsilon)^2 - |\mathbf{p}|^2 - m^2}, \qquad \widetilde{D}_A(p) = \frac{i}{(p^0 - i\epsilon)^2 - |\mathbf{p}|^2 - m^2}

$D_R$ : 두 극 모두 실수축 아래 — 인과적 전파 (원인 $\to$ 결과)
$D_A$ : 두 극 모두 실수축 위 — 반인과적 전파

지연 전파함수는 고전적 응답 이론에서 나타나며, 파인만 전파함수는 양자 산란 과정 계산에 적합하다.

6. 윅 회전과 유클리드 전파함수

정의3.3윅 회전

윅 회전(Wick rotation)은 시간 좌표를 허수로 해석적 연속(analytic continuation)하는 기법이다:

t \to -i\tau, \qquad p^0 \to ip^0_E

이 변환 하에서 민코프스키 계량 $ds^2 = dt^2 - d\mathbf{x}^2$ 가 유클리드 계량 $ds_E^2 = d\tau^2 + d\mathbf{x}^2$ 로 바뀐다. 유클리드 전파함수는:

\widetilde{D}_E(p_E) = \frac{1}{p_E^2 + m^2}

여기서 $p_E^2 = (p^0_E)^2 + |\mathbf{p}|^2 \geq 0$ 이므로, 극이 존재하지 않아 $i\epsilon$ 처방이 불필요하다.

예제위치 공간에서의 유클리드 전파함수

$d=4$ 유클리드 공간에서 전파함수를 위치 공간으로 변환하면:

D_E(x_E) = \int \frac{d^4p_E}{(2\pi)^4} \frac{e^{ip_E \cdot x_E}}{p_E^2 + m^2} = \frac{m}{4\pi^2 |x_E|} K_1(m|x_E|)

여기서 $K_1$ 은 수정 베셀 함수(modified Bessel function of the second kind)이다. 점근적 행동:

단거리 $m|x_E| \ll 1$ : $D_E(x_E) \sim \frac{1}{4\pi^2 x_E^2}$ (무질량 전파함수)
장거리 $m|x_E| \gg 1$ : $D_E(x_E) \sim \frac{m^{1/2}}{(2\pi)^{3/2} |x_E|^{3/2}} e^{-m|x_E|}$

장거리에서 $e^{-m|x_E|}$ 의 지수적 감쇠는 질량 $m$ 인 입자의 유한한 전파 범위(콤프턴 파장 $\sim 1/m$ )를 반영한다.