디랙 방정식 (Dirac Equation)
1. 디랙 방정식의 동기
클라인-고든 방정식은 시간에 대해 2차 미분방정식이므로, 확률 밀도가 양정치가 아닌 문제가 있었다. 디랙(Dirac, 1928)은 시간에 대해 1차 인 상대론적 파동방정식을 구성하여 이 문제를 해결하고자 했다. 이 과정에서 자연스럽게 스핀 과 반입자 가 예측되었다.
2. 디랙 방정식의 구성
정의 1.1 디랙 방정식
질량 m m m 1 2 \frac{1}{2} 2 1 디랙 방정식 (Dirac equation)은:
( i γ μ ∂ μ − m ) ψ ( x ) = 0 (i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi(x) = 0 ( i γ μ ∂ μ − m ) ψ ( x ) = 0 또는 슬래시 표기법을 사용하면:
( i ̸ ∂ − m ) ψ = 0 (i\not\!\partial - m)\psi = 0 ( i ∂ − m ) ψ = 0 여기서 ψ ( x ) \psi(x) ψ ( x ) 디랙 스피너 (Dirac spinor)이고, γ μ \gamma^\mu γ μ μ = 0 , 1 , 2 , 3 \mu = 0, 1, 2, 3 μ = 0 , 1 , 2 , 3 디랙 감마 행렬 (Dirac gamma matrices)이다.
유도 디랙 방정식의 유도
시간에 대해 1차인 상대론적 방정식을 다음과 같이 가정한다:
i ∂ ψ ∂ t = ( − i α ⋅ ∇ + β m ) ψ i\frac{\partial\psi}{\partial t} = (-i\boldsymbol{\alpha}\cdot\nabla + \beta m)\psi i ∂ t ∂ ψ = ( − i α ⋅ ∇ + β m ) ψ 여기서 α = ( α 1 , α 2 , α 3 ) \boldsymbol{\alpha} = (\alpha^1, \alpha^2, \alpha^3) α = ( α 1 , α 2 , α 3 ) β \beta β E 2 = ∣ p ∣ 2 + m 2 E^2 = |\mathbf{p}|^2 + m^2 E 2 = ∣ p ∣ 2 + m 2
− ∂ 2 ψ ∂ t 2 = [ − α i α j ∂ i ∂ j − i m ( α i β + β α i ) ∂ i + β 2 m 2 ] ψ -\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2} = \left[-\alpha^i\alpha^j\partial_i\partial_j - im(\alpha^i\beta + \beta\alpha^i)\partial_i + \beta^2 m^2\right]\psi − ∂ t 2 ∂ 2 ψ = [ − α i α j ∂ i ∂ j − im ( α i β + β α i ) ∂ i + β 2 m 2 ] ψ 이것이 ( − ∇ 2 + m 2 ) ψ (-\nabla^2 + m^2)\psi ( − ∇ 2 + m 2 ) ψ
{ α i , α j } = 2 δ i j I , { α i , β } = 0 , β 2 = I \{\alpha^i, \alpha^j\} = 2\delta^{ij}I, \qquad \{\alpha^i, \beta\} = 0, \qquad \beta^2 = I { α i , α j } = 2 δ ij I , { α i , β } = 0 , β 2 = I 이 반교환관계(anticommutation relations)를 만족하는 최소 행렬의 크기는 4 × 4 4 \times 4 4 × 4 γ 0 = β \gamma^0 = \beta γ 0 = β γ i = β α i \gamma^i = \beta\alpha^i γ i = β α i ( i γ μ ∂ μ − m ) ψ = 0 (i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi = 0 ( i γ μ ∂ μ − m ) ψ = 0
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3. 감마 행렬의 대수
정의 1.2 클리퍼드 대수
디랙 감마 행렬 γ μ \gamma^\mu γ μ 클리퍼드 대수 (Clifford algebra)를 만족한다:
{ γ μ , γ ν } ≡ γ μ γ ν + γ ν γ μ = 2 η μ ν I 4 \{\gamma^\mu, \gamma^\nu\} \equiv \gamma^\mu\gamma^\nu + \gamma^\nu\gamma^\mu = 2\eta^{\mu\nu}I_4 { γ μ , γ ν } ≡ γ μ γ ν + γ ν γ μ = 2 η μν I 4 이로부터:
( γ 0 ) 2 = I (\gamma^0)^2 = I ( γ 0 ) 2 = I ( γ i ) 2 = − I (\gamma^i)^2 = -I ( γ i ) 2 = − I γ 0 \gamma^0 γ 0 ( γ 0 ) † = γ 0 (\gamma^0)^\dagger = \gamma^0 ( γ 0 ) † = γ 0 γ i \gamma^i γ i ( γ i ) † = − γ i (\gamma^i)^\dagger = -\gamma^i ( γ i ) † = − γ i 통합하면 ( γ μ ) † = γ 0 γ μ γ 0 (\gamma^\mu)^\dagger = \gamma^0\gamma^\mu\gamma^0 ( γ μ ) † = γ 0 γ μ γ 0
대표적인 표현(representation)들:
디랙 표현 (Dirac representation) :
γ 0 = ( I 0 0 − I ) , γ i = ( 0 σ i − σ i 0 ) \gamma^0 = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix}, \qquad \gamma^i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^i \\ -\sigma^i & 0 \end{pmatrix} γ 0 = ( I 0 0 − I ) , γ i = ( 0 − σ i σ i 0 ) 바일 (키랄) 표현 (Weyl/chiral representation) :
γ 0 = ( 0 I I 0 ) , γ i = ( 0 σ i − σ i 0 ) \gamma^0 = \begin{pmatrix} 0 & I \\ I & 0 \end{pmatrix}, \qquad \gamma^i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^i \\ -\sigma^i & 0 \end{pmatrix} γ 0 = ( 0 I I 0 ) , γ i = ( 0 − σ i σ i 0 ) 여기서 σ i \sigma^i σ i γ 5 \gamma^5 γ 5
γ 5 ≡ i γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 , ( γ 5 ) 2 = I , { γ 5 , γ μ } = 0 \gamma^5 \equiv i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3, \qquad (\gamma^5)^2 = I, \quad \{\gamma^5, \gamma^\mu\} = 0 γ 5 ≡ i γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 , ( γ 5 ) 2 = I , { γ 5 , γ μ } = 0 4. 평면파 해
정의 1.3 디랙 스피너의 평면파 해
양의 에너지 해(E = + ω p E = +\omega_{\mathbf{p}} E = + ω p E = − ω p E = -\omega_{\mathbf{p}} E = − ω p
ψ ( + ) ( x ) = u s ( p ) e − i p ⋅ x , ψ ( − ) ( x ) = v s ( p ) e + i p ⋅ x \psi^{(+)}(x) = u^s(\mathbf{p})\,e^{-ip\cdot x}, \qquad \psi^{(-)}(x) = v^s(\mathbf{p})\,e^{+ip\cdot x} ψ ( + ) ( x ) = u s ( p ) e − i p ⋅ x , ψ ( − ) ( x ) = v s ( p ) e + i p ⋅ x 여기서 s = 1 , 2 s = 1, 2 s = 1 , 2 u s ( p ) u^s(\mathbf{p}) u s ( p ) v s ( p ) v^s(\mathbf{p}) v s ( p )
( ̸ p − m ) u s ( p ) = 0 , ( ̸ p + m ) v s ( p ) = 0 (\not\!p - m)u^s(\mathbf{p}) = 0, \qquad (\not\!p + m)v^s(\mathbf{p}) = 0 ( p − m ) u s ( p ) = 0 , ( p + m ) v s ( p ) = 0 를 만족한다. 디랙 표현에서 정지 프레임(p = 0 \mathbf{p} = 0 p = 0
u 1 ( 0 ) = m ( 1 0 1 0 ) , u 2 ( 0 ) = m ( 0 1 0 1 ) , v 1 ( 0 ) = m ( 1 0 − 1 0 ) , v 2 ( 0 ) = m ( 0 1 0 − 1 ) u^1(\mathbf{0}) = \sqrt{m}\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}, \quad u^2(\mathbf{0}) = \sqrt{m}\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\end{pmatrix}, \quad v^1(\mathbf{0}) = \sqrt{m}\begin{pmatrix}1\\0\\-1\\0\end{pmatrix}, \quad v^2(\mathbf{0}) = \sqrt{m}\begin{pmatrix}0\\1\\0\\-1\end{pmatrix} u 1 ( 0 ) = m 1 0 1 0 , u 2 ( 0 ) = m 0 1 0 1 , v 1 ( 0 ) = m 1 0 − 1 0 , v 2 ( 0 ) = m 0 1 0 − 1 5. 확률류와 양정치 밀도
디랙 방정식의 핵심 성과 중 하나는 양정치인 확률 밀도를 가진다는 것이다:
j μ = ψ ˉ γ μ ψ , ∂ μ j μ = 0 j^\mu = \bar{\psi}\gamma^\mu\psi, \qquad \partial_\mu j^\mu = 0 j μ = ψ ˉ γ μ ψ , ∂ μ j μ = 0 여기서 ψ ˉ ≡ ψ † γ 0 \bar{\psi} \equiv \psi^\dagger\gamma^0 ψ ˉ ≡ ψ † γ 0 디랙 수반 (Dirac adjoint)이다. 확률 밀도는:
j 0 = ψ ˉ γ 0 ψ = ψ † ψ = ∑ a = 1 4 ∣ ψ a ∣ 2 ≥ 0 j^0 = \bar{\psi}\gamma^0\psi = \psi^\dagger\psi = \sum_{a=1}^{4}|\psi_a|^2 \geq 0 j 0 = ψ ˉ γ 0 ψ = ψ † ψ = a = 1 ∑ 4 ∣ ψ a ∣ 2 ≥ 0 이것은 항상 양이므로, 클라인-고든 방정식의 확률 해석 문제가 해결된다.
참고 1입자 해석의 한계
j 0 ≥ 0 j^0 \geq 0 j 0 ≥ 0 디랙 바다 (Dirac sea) 개념을 도입하여, 모든 음의 에너지 상태가 이미 채워져 있다고 가정했다. 파울리 배타 원리에 의해 추가 전자가 음의 에너지 상태로 전이될 수 없으므로 안정성이 보장된다. 디랙 바다에서 하나의 전자가 빠져나간 "구멍"이 양의 전하를 가진 반입자(양전자)로 관측된다. 현대적으로는 양자장론의 관점에서 음의 에너지 해를 반입자의 양의 에너지 해로 재해석한다.
6. 디랙 방정식의 공변성
디랙 방정식이 로렌츠 변환 x → x ′ = Λ x x \to x' = \Lambda x x → x ′ = Λ x ψ \psi ψ
ψ ( x ) → ψ ′ ( x ′ ) = S ( Λ ) ψ ( x ) \psi(x) \to \psi'(x') = S(\Lambda)\psi(x) ψ ( x ) → ψ ′ ( x ′ ) = S ( Λ ) ψ ( x ) 여기서 S ( Λ ) S(\Lambda) S ( Λ ) 4 × 4 4\times4 4 × 4
S − 1 ( Λ ) γ μ S ( Λ ) = Λ μ ν γ ν S^{-1}(\Lambda)\gamma^\mu S(\Lambda) = \Lambda^\mu{}_\nu\gamma^\nu S − 1 ( Λ ) γ μ S ( Λ ) = Λ μ ν γ ν 무한소 로렌츠 변환 Λ μ ν = δ μ ν + ω μ ν \Lambda^\mu{}_\nu = \delta^\mu{}_\nu + \omega^\mu{}_\nu Λ μ ν = δ μ ν + ω μ ν
S ( Λ ) = I − i 4 ω μ ν σ μ ν + O ( ω 2 ) , σ μ ν = i 2 [ γ μ , γ ν ] S(\Lambda) = I - \frac{i}{4}\omega_{\mu\nu}\sigma^{\mu\nu} + \mathcal{O}(\omega^2), \qquad \sigma^{\mu\nu} = \frac{i}{2}[\gamma^\mu, \gamma^\nu] S ( Λ ) = I − 4 i ω μν σ μν + O ( ω 2 ) , σ μν = 2 i [ γ μ , γ ν ] σ μ ν \sigma^{\mu\nu} σ μν 생성원 (generator)이다. σ i j \sigma^{ij} σ ij S k = 1 2 ϵ i j k σ i j S^k = \frac{1}{2}\epsilon^{ijk}\sigma^{ij} S k = 2 1 ϵ ijk σ ij 1 2 \frac{1}{2} 2 1