스피너 (Spinor)

1. 로렌츠 군과 스피너 표현

스피너를 이해하려면 로렌츠 군(Lorentz group) $SO(1,3)$ 의 표현론이 필요하다. 로렌츠 군의 리 대수 $\mathfrak{so}(1,3)$ 는 6개의 생성원(회전 3개 $J_i$ + 부스트 3개 $K_i$ )을 가진다.

정의2.1로렌츠 리 대수의 분해

복소화된 로렌츠 리 대수는 다음과 같이 두 독립적인 $\mathfrak{su}(2)$ 의 직합으로 분해된다:

\mathfrak{so}(1,3)_{\mathbb{C}} \cong \mathfrak{su}(2)_L \oplus \mathfrak{su}(2)_R

새 생성원을 정의하면:

\mathbf{N}_+ = \frac{1}{2}(\mathbf{J} + i\mathbf{K}), \qquad \mathbf{N}_- = \frac{1}{2}(\mathbf{J} - i\mathbf{K})

이들은 각각 독립적인 $\mathfrak{su}(2)$ 대수를 만족한다:

[N_+^i, N_+^j] = i\epsilon^{ijk}N_+^k, \qquad [N_-^i, N_-^j] = i\epsilon^{ijk}N_-^k, \qquad [N_+^i, N_-^j] = 0

따라서 로렌츠 군의 유한차원 표현은 한 쌍 $(j_+, j_-)$ 로 분류된다. 여기서 $j_\pm = 0, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, \ldots$ 이다.

정의2.2바일 스피너

가장 기본적인 스피너 표현은 다음 두 가지이다:

로렌츠 변환 하에서:

\psi_L \to \exp\left(-\frac{i}{2}\boldsymbol{\theta}\cdot\boldsymbol{\sigma} - \frac{1}{2}\boldsymbol{\beta}\cdot\boldsymbol{\sigma}\right)\psi_L

\psi_R \to \exp\left(-\frac{i}{2}\boldsymbol{\theta}\cdot\boldsymbol{\sigma} + \frac{1}{2}\boldsymbol{\beta}\cdot\boldsymbol{\sigma}\right)\psi_R

여기서 $\boldsymbol{\theta}$ 는 회전 파라미터, $\boldsymbol{\beta}$ 는 부스트 파라미터, $\boldsymbol{\sigma}$ 는 파울리 행렬이다.

회전에 대해서는 $\psi_L$ 과 $\psi_R$ 가 동일하게 변환하지만, 부스트에 대해서는 부호가 반대이다. 이것이 좌손/우손의 구별이며, 패리티(parity) 변환 $P$ 는 $\psi_L \leftrightarrow \psi_R$ 를 교환한다.

정의2.3디랙 스피너

디랙 스피너(Dirac spinor)는 좌손과 우손 바일 스피너를 결합한 4-성분 객체이다:

\psi = \begin{pmatrix} \psi_L \\ \psi_R \end{pmatrix}

이것은 $(\frac{1}{2}, 0) \oplus (0, \frac{1}{2})$ 표현에 해당한다. 바일(키랄) 표현에서 $\gamma^5$ 는 대각 형태이다:

\gamma^5 = \begin{pmatrix} -I_2 & 0 \\ 0 & I_2 \end{pmatrix}

따라서 키랄 사영 연산자(chiral projection operators):

P_L = \frac{1 - \gamma^5}{2} = \begin{pmatrix} I_2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad P_R = \frac{1 + \gamma^5}{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & I_2 \end{pmatrix}

\psi_L = P_L\psi, \qquad \psi_R = P_R\psi

정의2.4스피너 완전성 관계

$u$ -스피너와 $v$ -스피너에 대한 스핀 합산(spin sum) 공식:

\sum_{s=1,2} u^s(\mathbf{p})\bar{u}^s(\mathbf{p}) = \not\!p + m

\sum_{s=1,2} v^s(\mathbf{p})\bar{v}^s(\mathbf{p}) = \not\!p - m

규격화 조건:

\bar{u}^r(\mathbf{p})u^s(\mathbf{p}) = 2m\,\delta^{rs}, \qquad \bar{v}^r(\mathbf{p})v^s(\mathbf{p}) = -2m\,\delta^{rs}

\bar{u}^r(\mathbf{p})v^s(\mathbf{p}) = 0, \qquad \bar{v}^r(\mathbf{p})u^s(\mathbf{p}) = 0

이 관계는 파인만 도형 계산에서 외부선 페르미온의 스핀을 합산할 때 핵심적으로 사용된다.

예제스핀 합산의 트레이스 기법

$|\mathcal{M}|^2$ 를 스핀에 대해 평균/합산할 때:

\frac{1}{2}\sum_{\text{spins}} |\bar{u}(p')\gamma^\mu u(p)|^2 = \frac{1}{2}\text{Tr}\left[\gamma^\mu(\not\!p + m)\gamma^\nu(\not\!p' + m)\right]

이와 같은 트레이스 기법(trace technique)은 감마 행렬의 트레이스 항등식을 사용한다:

\text{Tr}(\gamma^\mu\gamma^\nu) = 4\eta^{\mu\nu}

\text{Tr}(\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma) = 4(\eta^{\mu\nu}\eta^{\rho\sigma} - \eta^{\mu\rho}\eta^{\nu\sigma} + \eta^{\mu\sigma}\eta^{\nu\rho})

\text{Tr}(\text{홀수 개의 } \gamma) = 0

정의2.5마요라나 스피너

마요라나 스피너(Majorana spinor)는 자기 자신이 전하 켤레인 스피너이다:

\psi^c = C\bar{\psi}^T = \psi

여기서 $C$ 는 전하 켤레 행렬(charge conjugation matrix)로, $C\gamma^\mu C^{-1} = -(\gamma^\mu)^T$ 를 만족한다. 마요라나 조건 $\psi^c = \psi$ 는 스피너의 독립 자유도를 절반으로 줄인다.

마요라나 스피너로 기술되는 입자는 자기 자신이 반입자이다 (전하가 0). 중성미자가 마요라나 페르미온인지 디랙 페르미온인지는 현재까지 미해결 문제이다.

정의2.6헬리시티와 키랄리티

헬리시티(helicity) $h$ 는 운동량 방향에 대한 스핀의 사영이다:

h = \frac{\mathbf{S} \cdot \hat{\mathbf{p}}}{|\mathbf{S}|} = \frac{\boldsymbol{\Sigma}\cdot\hat{\mathbf{p}}}{2}, \qquad \boldsymbol{\Sigma} = \begin{pmatrix}\boldsymbol{\sigma} & 0 \\ 0 & \boldsymbol{\sigma}\end{pmatrix}

$h = +\frac{1}{2}$ 이면 우헬리시티, $h = -\frac{1}{2}$ 이면 좌헬리시티이다.

키랄리티(chirality)는 $\gamma^5$ 의 고유값이다:

\gamma^5\psi_L = -\psi_L \quad (\text{좌키랄}), \qquad \gamma^5\psi_R = +\psi_R \quad (\text{우키랄})

참고헬리시티 vs 키랄리티

헬리시티는 로렌츠 불변이 아니다 (유질량 입자에 대해). 충분히 빠른 관측자에서 보면 헬리시티가 뒤바뀔 수 있다.
키랄리티는 로렌츠 불변이지만, 질량이 있으면 보존되지 않는다. 디랙 질량항 $m\bar{\psi}\psi = m(\bar{\psi}_L\psi_R + \bar{\psi}_R\psi_L)$ 은 좌키랄과 우키랄을 섞는다.
무질량 한계 $m \to 0$ 에서 헬리시티와 키랄리티가 일치하며, 키랄리티가 보존된다. 이것이 약한 상호작용에서 키랄리티의 역할을 이해하는 열쇠이다.