반입자 (Antiparticle)
1. 반입자의 역사적 발견
디랙 방정식의 음의 에너지 해는 물리적으로 문제가 있었다. 디랙은 1930년 "디랙 바다"를 제안하고, 이 바다에서 하나의 전자가 빠진 구멍이 양의 전하를 가진 입자로 관측된다고 예측했다. 1932년 앤더슨(Anderson)이 우주선에서 양전자 (positron) e + e^+ e +
2. 양자장론에서의 반입자
정의 3.1 디랙 장의 양자화
디랙 장의 모드 전개는:
ψ ^ ( x ) = ∑ s = 1 , 2 ∫ d 3 p ( 2 π ) 3 1 2 ω p ( a ^ p s u s ( p ) e − i p ⋅ x + b ^ p s † v s ( p ) e i p ⋅ x ) \hat{\psi}(x) = \sum_{s=1,2}\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}}\left(\hat{a}_{\mathbf{p}}^s u^s(\mathbf{p})e^{-ip\cdot x} + \hat{b}_{\mathbf{p}}^{s\dagger} v^s(\mathbf{p})e^{ip\cdot x}\right) ψ ^ ( x ) = s = 1 , 2 ∑ ∫ ( 2 π ) 3 d 3 p 2 ω p 1 ( a ^ p s u s ( p ) e − i p ⋅ x + b ^ p s † v s ( p ) e i p ⋅ x ) ψ ˉ ^ ( x ) = ∑ s = 1 , 2 ∫ d 3 p ( 2 π ) 3 1 2 ω p ( b ^ p s v ˉ s ( p ) e − i p ⋅ x + a ^ p s † u ˉ s ( p ) e i p ⋅ x ) \hat{\bar{\psi}}(x) = \sum_{s=1,2}\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}}\left(\hat{b}_{\mathbf{p}}^s \bar{v}^s(\mathbf{p})e^{-ip\cdot x} + \hat{a}_{\mathbf{p}}^{s\dagger} \bar{u}^s(\mathbf{p})e^{ip\cdot x}\right) ψ ˉ ^ ( x ) = s = 1 , 2 ∑ ∫ ( 2 π ) 3 d 3 p 2 ω p 1 ( b ^ p s v ˉ s ( p ) e − i p ⋅ x + a ^ p s † u ˉ s ( p ) e i p ⋅ x ) 여기서:
a ^ p s † \hat{a}_{\mathbf{p}}^{s\dagger} a ^ p s † p \mathbf{p} p s s s 입자 (전자)를 생성b ^ p s † \hat{b}_{\mathbf{p}}^{s\dagger} b ^ p s † p \mathbf{p} p s s s 반입자 (양전자)를 생성두 종류의 연산자는 독립적 이다
핵심: 고전적 음의 에너지 해 v s ( p ) e + i p ⋅ x v^s(\mathbf{p})e^{+ip\cdot x} v s ( p ) e + i p ⋅ x 생성 연산자 b ^ † \hat{b}^\dagger b ^ † ω p > 0 \omega_{\mathbf{p}} > 0 ω p > 0
3. 페르미-디랙 통계와 반교환관계
정의 3.2 반교환관계
디랙 장은 보손 이 아닌 페르미온 이므로, 교환관계 대신 반교환관계 (anticommutation relations)를 부과한다:
{ a ^ p r , a ^ q s † } = ( 2 π ) 3 δ r s δ ( 3 ) ( p − q ) \{\hat{a}_{\mathbf{p}}^r, \hat{a}_{\mathbf{q}}^{s\dagger}\} = (2\pi)^3\delta^{rs}\delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q}) { a ^ p r , a ^ q s † } = ( 2 π ) 3 δ rs δ ( 3 ) ( p − q ) { b ^ p r , b ^ q s † } = ( 2 π ) 3 δ r s δ ( 3 ) ( p − q ) \{\hat{b}_{\mathbf{p}}^r, \hat{b}_{\mathbf{q}}^{s\dagger}\} = (2\pi)^3\delta^{rs}\delta^{(3)}(\mathbf{p} - \mathbf{q}) { b ^ p r , b ^ q s † } = ( 2 π ) 3 δ rs δ ( 3 ) ( p − q ) 나머지 모든 반교환자는 0이다:
{ a ^ r , a ^ s } = { b ^ r , b ^ s } = { a ^ r , b ^ s } = { a ^ r , b ^ s † } = 0 \{\hat{a}^r, \hat{a}^s\} = \{\hat{b}^r, \hat{b}^s\} = \{\hat{a}^r, \hat{b}^s\} = \{\hat{a}^r, \hat{b}^{s\dagger}\} = 0 { a ^ r , a ^ s } = { b ^ r , b ^ s } = { a ^ r , b ^ s } = { a ^ r , b ^ s † } = 0 유도 스핀-통계 정리
만약 디랙 장에 (보손처럼) 교환관계를 부과하면:
에너지가 아래로 유계가 아님 : H ^ = ∫ d 3 p ( 2 π ) 3 ω p ∑ s ( a ^ p s † a ^ p s − b ^ p s † b ^ p s ) \hat{H} = \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\omega_{\mathbf{p}}\sum_s(\hat{a}_{\mathbf{p}}^{s\dagger}\hat{a}_{\mathbf{p}}^s - \hat{b}_{\mathbf{p}}^{s\dagger}\hat{b}_{\mathbf{p}}^s) H ^ = ∫ ( 2 π ) 3 d 3 p ω p ∑ s ( a ^ p s † a ^ p s − b ^ p s † b ^ p s ) b ^ \hat{b} b ^
미시적 인과성 위반 : [ ψ ^ ( x ) , ψ ˉ ^ ( y ) ] ≠ 0 [\hat{\psi}(x), \hat{\bar{\psi}}(y)] \neq 0 [ ψ ^ ( x ) , ψ ˉ ^ ( y )] = 0 ( x − y ) 2 < 0 (x-y)^2 < 0 ( x − y ) 2 < 0
반교환관계를 쓰면 두 문제 모두 해결된다:
에너지: : H ^ : = ∫ d 3 p ( 2 π ) 3 ω p ∑ s ( a ^ s † a ^ s + b ^ s † b ^ s ) ≥ 0 :\!\hat{H}\!: = \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\omega_{\mathbf{p}}\sum_s(\hat{a}^{s\dagger}\hat{a}^s + \hat{b}^{s\dagger}\hat{b}^s) \geq 0 : H ^ := ∫ ( 2 π ) 3 d 3 p ω p ∑ s ( a ^ s † a ^ s + b ^ s † b ^ s ) ≥ 0
인과성: { ψ ^ ( x ) , ψ ˉ ^ ( y ) } = 0 \{\hat{\psi}(x), \hat{\bar{\psi}}(y)\} = 0 { ψ ^ ( x ) , ψ ˉ ^ ( y )} = 0 ( x − y ) 2 < 0 (x-y)^2 < 0 ( x − y ) 2 < 0
이것이 스핀-통계 정리 (spin-statistics theorem)의 핵심이다: 반정수 스핀 입자는 반드시 페르미-디랙 통계를 따라야 한다.
■
4. 전하 켤레와 CPT 대칭
정의 3.3 전하 켤레
전하 켤레 변환 (charge conjugation) C C C
C : ψ ^ ( x ) → ψ ^ c ( x ) = C ψ ˉ ^ T ( x ) C: \hat{\psi}(x) \to \hat{\psi}^c(x) = C\hat{\bar{\psi}}^T(x) C : ψ ^ ( x ) → ψ ^ c ( x ) = C ψ ˉ ^ T ( x ) 여기서 C = i γ 2 γ 0 C = i\gamma^2\gamma^0 C = i γ 2 γ 0
C a ^ p s C − 1 = b ^ p s , C b ^ p s C − 1 = a ^ p s C\hat{a}_{\mathbf{p}}^s C^{-1} = \hat{b}_{\mathbf{p}}^s, \qquad C\hat{b}_{\mathbf{p}}^s C^{-1} = \hat{a}_{\mathbf{p}}^s C a ^ p s C − 1 = b ^ p s , C b ^ p s C − 1 = a ^ p s 즉, C C C ↔ \leftrightarrow ↔ C C C C Q C − 1 = − Q CQC^{-1} = -Q CQ C − 1 = − Q
참고 CPT 정리
CPT 정리 (CPT theorem)에 의하면, 로렌츠 불변성과 국소 양자장론의 공리를 만족하는 모든 이론은 C C C P P P T T T C P T CPT CPT
( C P T ) L ( x ) ( C P T ) − 1 = L ( − x ) (CPT)\mathcal{L}(x)(CPT)^{-1} = \mathcal{L}(-x) ( CPT ) L ( x ) ( CPT ) − 1 = L ( − x ) 이로부터 다음이 보장된다:
입자와 반입자의 질량이 같다 : m particle = m antiparticle m_{\text{particle}} = m_{\text{antiparticle}} m particle = m antiparticle
입자와 반입자의 수명이 같다 : τ particle = τ antiparticle \tau_{\text{particle}} = \tau_{\text{antiparticle}} τ particle = τ antiparticle
전하와 자기 모멘트의 크기는 같고 부호가 반대
CPT 대칭은 양자장론의 가장 근본적인 대칭 중 하나이며, 그 위반이 관측되면 양자장론의 기본 틀이 수정되어야 한다.
5. 디랙 장의 전파함수
정의 3.4 페르미온 전파함수
디랙 장의 파인만 전파함수는:
S F ( x − y ) ≡ ⟨ 0 ∣ T { ψ ^ ( x ) ψ ˉ ^ ( y ) } ∣ 0 ⟩ S_F(x - y) \equiv \langle 0|T\{\hat{\psi}(x)\hat{\bar{\psi}}(y)\}|0\rangle S F ( x − y ) ≡ ⟨ 0∣ T { ψ ^ ( x ) ψ ˉ ^ ( y )} ∣0 ⟩ 여기서 페르미온의 시간 순서 곱은 부호 가 포함된다:
T { ψ ^ ( x ) ψ ˉ ^ ( y ) } = { ψ ^ ( x ) ψ ˉ ^ ( y ) x 0 > y 0 − ψ ˉ ^ ( y ) ψ ^ ( x ) y 0 > x 0 T\{\hat{\psi}(x)\hat{\bar{\psi}}(y)\} = \begin{cases} \hat{\psi}(x)\hat{\bar{\psi}}(y) & x^0 > y^0 \\ -\hat{\bar{\psi}}(y)\hat{\psi}(x) & y^0 > x^0 \end{cases} T { ψ ^ ( x ) ψ ˉ ^ ( y )} = { ψ ^ ( x ) ψ ˉ ^ ( y ) − ψ ˉ ^ ( y ) ψ ^ ( x ) x 0 > y 0 y 0 > x 0 운동량 공간에서:
S ~ F ( p ) = i ( ̸ p + m ) p 2 − m 2 + i ϵ = i ̸ p − m + i ϵ \widetilde{S}_F(p) = \frac{i(\not\!p + m)}{p^2 - m^2 + i\epsilon} = \frac{i}{\not\!p - m + i\epsilon} S F ( p ) = p 2 − m 2 + i ϵ i ( p + m ) = p − m + i ϵ i 페르미온 전파함수는 클라인-고든 전파함수와 다음 관계가 있다:
S F ( x − y ) = ( i ̸ ∂ x + m ) D F ( x − y ) S_F(x - y) = (i\not\!\partial_x + m)D_F(x - y) S F ( x − y ) = ( i ∂ x + m ) D F ( x − y ) 운동량 공간에서 S ~ F ( p ) = ( ̸ p + m ) ⋅ i p 2 − m 2 + i ϵ \widetilde{S}_F(p) = (\not\!p + m) \cdot \frac{i}{p^2 - m^2 + i\epsilon} S F ( p ) = ( p + m ) ⋅ p 2 − m 2 + i ϵ i ( ̸ p + m ) (\not\!p + m) ( p + m )
6. 입자-반입자 쌍생성과 쌍소멸