디랙 방정식 (Dirac Equation)

1. 법칙 진술

법칙2.1디랙 방정식

질량 $m$ 인 자유 스핀- $\frac{1}{2}$ 페르미온장 $\psi(x)$ 의 운동방정식은:

(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi(x) = 0

이것은 디랙 라그랑지안 밀도:

\mathcal{L}_{\text{Dirac}} = \bar{\psi}(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi = \bar{\psi}(i\not\!\partial - m)\psi

로부터 $\bar{\psi}$ 에 대한 오일러-라그랑주 방정식으로 유도된다. $\psi$ 에 대한 변분은 수반(adjoint) 디랙 방정식을 준다:

i\partial_\mu\bar{\psi}\gamma^\mu + m\bar{\psi} = 0

2. 디랙 방정식과 클라인-고든 방정식의 관계

유도디랙 방정식으로부터 클라인-고든 방정식 유도

디랙 방정식 $(i\not\!\partial - m)\psi = 0$ 의 양변에 $(i\not\!\partial + m)$ 을 왼쪽에서 곱하면:

(i\not\!\partial + m)(i\not\!\partial - m)\psi = 0

(-\not\!\partial\not\!\partial - m^2)\psi = 0

여기서 $\not\!\partial\not\!\partial = \gamma^\mu\gamma^\nu\partial_\mu\partial_\nu = \frac{1}{2}\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}\partial_\mu\partial_\nu = \eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu = \Box$ 이므로:

(\Box + m^2)\psi = 0

즉, 디랙 스피너의 각 성분은 클라인-고든 방정식을 만족한다. 디랙 방정식은 클라인-고든 방정식의 "제곱근"에 해당한다.

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3. 전자기장과의 최소 결합

법칙2.2전자기장에서의 디랙 방정식

전하 $q$ 를 가진 페르미온이 외부 전자기장 $A^\mu$ 와 상호작용할 때, 최소 결합(minimal coupling) 처방 $\partial_\mu \to D_\mu = \partial_\mu + iqA_\mu$ 을 적용하면:

(i\gamma^\mu D_\mu - m)\psi = 0 \quad \Longrightarrow \quad [i\gamma^\mu(\partial_\mu + iqA_\mu) - m]\psi = 0

전자의 경우 $q = -e$ ( $e > 0$ ):

[i\gamma^\mu(\partial_\mu - ieA_\mu) - m]\psi = 0

이 방정식은 게이지 불변(gauge invariant)하다. $\psi \to e^{i\alpha(x)}\psi$ , $A_\mu \to A_\mu + \frac{1}{e}\partial_\mu\alpha(x)$ 변환에 대해 방정식의 형태가 보존된다.

4. 비상대론적 극한과 파울리 방정식

유도디랙 방정식의 비상대론적 극한

디랙 표현에서 $\psi = \begin{pmatrix}\varphi\\\chi\end{pmatrix}$ 로 쓰고, 정지 에너지를 분리한다: $\psi = e^{-imt}\begin{pmatrix}\varphi\\\chi\end{pmatrix}$ . 전자기장이 존재할 때:

i\dot{\varphi} = \boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\pi}\,\chi + eA_0\varphi

i\dot{\chi} = \boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\pi}\,\varphi + eA_0\chi - 2m\chi

여기서 $\boldsymbol{\pi} = \mathbf{p} + e\mathbf{A}$ 이다. 비상대론적 극한 ( $|\dot{\chi}|, |eA_0\chi| \ll 2m|\chi|$ )에서:

\chi \approx \frac{\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\pi}}{2m}\varphi

이를 첫 번째 식에 대입하고, $(\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{\pi})^2 = \boldsymbol{\pi}^2 - e\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B}$ 를 사용하면:

i\frac{\partial\varphi}{\partial t} = \left[\frac{(\mathbf{p}+e\mathbf{A})^2}{2m} - eA_0 - \frac{e}{2m}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B}\right]\varphi

이것이 파울리 방정식(Pauli equation)이다. 마지막 항 $-\frac{e}{2m}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{B}$ 는 자기 모멘트 $\boldsymbol{\mu} = -\frac{e}{2m}\boldsymbol{\sigma} = -g\frac{e}{2m}\mathbf{S}$ 와의 상호작용으로, 디랙 방정식은 $g$ -인자가 정확히 2임을 예측한다.

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참고이상 자기 모멘트

디랙 방정식은 $g = 2$ 를 예측하지만, QED의 양자 보정(루프 다이어그램)이 추가 기여를 준다. 슈윙거(Schwinger, 1948)가 1-루프 보정을 계산하여:

g = 2\left(1 + \frac{\alpha}{2\pi} + \cdots\right) \approx 2.00232\ldots

여기서 $\alpha \approx 1/137$ 은 미세구조 상수이다. 현재 실험값과 이론값은 $10^{-12}$ 정밀도로 일치하며, 이것은 물리학에서 가장 정밀하게 검증된 예측 중 하나이다.

5. 수소 원자의 미세 구조

예제디랙 방정식과 수소 원자 에너지 준위

쿨롱 퍼텐셜 $A_0 = -\frac{e}{4\pi r}$ 에서 디랙 방정식의 정확한 해는 소머펠트(Sommerfeld)가 유도한 미세 구조 공식(fine structure formula)을 준다:

E_{n,j} = m\left[1 + \left(\frac{\alpha}{n - (j+\frac{1}{2}) + \sqrt{(j+\frac{1}{2})^2 - \alpha^2}}\right)^2\right]^{-1/2}

$\alpha^2$ 까지 전개하면:

E_{n,j} \approx m - \frac{m\alpha^2}{2n^2} - \frac{m\alpha^4}{2n^4}\left(\frac{n}{j + \frac{1}{2}} - \frac{3}{4}\right) + \cdots

첫째 항: 정지 에너지
둘째 항: 보어 에너지 ( $-13.6\;\text{eV}/n^2$ )
셋째 항: 미세 구조(fine structure) -- $j$ 에 의존하므로 같은 $n$ 이라도 $j$ 가 다르면 에너지가 달라진다

디랙 이론에서 $2S_{1/2}$ 와 $2P_{1/2}$ 상태는 같은 에너지를 가지지만, 실험적으로 램 이동(Lamb shift)이 관측된다. 이 차이는 QED의 양자 보정(진공 편극, 자기 에너지)으로 설명되며, 양자장론의 중요한 실험적 증거이다.

6. 디랙 방정식의 현대적 의의

디랙 방정식은 양자장론의 발전에서 다음과 같은 근본적 기여를 했다:

반입자의 예측: 양전자( $e^+$ )의 존재를 이론적으로 예측
스핀의 자연스러운 등장: 로렌츠 공변성에서 스핀- $\frac{1}{2}$ 이 자동으로 도출
$g = 2$ 예측: 전자의 자기 회전비를 정확히 예측
스핀-통계 연결: 페르미온이 반교환관계를 따라야 함을 보여줌
게이지 원리의 원형: 최소 결합을 통한 전자기 상호작용의 도입

현대 입자물리학에서 표준모형의 모든 물질 입자(쿼크, 렙톤)는 디랙 방정식(또는 그 변형인 바일/마요라나 방정식)에 의해 기술된다.