파인만 규칙 (Feynman Rules)

1. QED 라그랑지안

양자전기역학(QED)은 전자기 상호작용을 기술하는 양자장론이다. QED 라그랑지안은:

\mathcal{L}_{\text{QED}} = \bar{\psi}(i\not\!\partial - m)\psi - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} - e\bar{\psi}\gamma^\mu\psi A_\mu

여기서 $F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$ 는 전자기장 텐서, $A_\mu$ 는 광자장, $e > 0$ 은 양전자의 전하이다. 세 번째 항이 전자-광자 상호작용 꼭짓점(interaction vertex)에 해당한다.

정의1.1QED의 결합상수

QED의 결합상수는 전하 $e$ 이며, 무차원 결합상수인 미세구조 상수(fine-structure constant)는:

\alpha = \frac{e^2}{4\pi} \approx \frac{1}{137.036}

$\alpha \ll 1$ 이므로, 섭동론이 매우 잘 작동한다. QED의 계산 결과는 실험과 $10^{-12}$ 수준까지 일치한다.

2. 파인만 도형의 구성 요소

정의1.2QED 파인만 규칙 (운동량 공간)

$S$ -행렬의 $n$ 차 섭동 전개에서 각 파인만 도형은 다음 요소들로 구성된다:

전파함수 (내부선):

페르미온 (실선, 화살표 $\to$ ):

\xrightarrow{\quad p \quad} \quad = \quad \frac{i(\not\!p + m)}{p^2 - m^2 + i\epsilon}

광자 (물결선, 파인만 게이지):

\sim\!\sim\!\sim\!\sim \quad = \quad \frac{-i\eta_{\mu\nu}}{q^2 + i\epsilon}

꼭짓점 (vertex):

전자-광자 꼭짓점:

= \quad -ie\gamma^\mu

외부선:

입사 전자: $u^s(\mathbf{p})$
출사 전자: $\bar{u}^s(\mathbf{p})$
입사 양전자: $\bar{v}^s(\mathbf{p})$
출사 양전자: $v^s(\mathbf{p})$
입사 광자: $\epsilon_\mu(\mathbf{k}, \lambda)$
출사 광자: $\epsilon_\mu^*(\mathbf{k}, \lambda)$

3. 파인만 도형 계산 절차

정의1.3$S$-행렬과 파인만 진폭

산란 진폭 $i\mathcal{M}$ 은 다음 절차로 계산한다:

주어진 차수까지 가능한 모든 연결된(connected) 파인만 도형을 그린다
각 내부선에 전파함수를, 각 꼭짓점에 $-ie\gamma^\mu$ 를 배정한다
페르미온 선을 따라 화살표 반대 방향으로 행렬을 곱한다
각 꼭짓점에서 4-운동량 보존: $(2\pi)^4\delta^{(4)}(\sum p)$
미정 내부 운동량(루프 운동량)에 대해 적분: $\int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}$
닫힌 페르미온 루프마다 $(-1)$ 을 곱하고 트레이스를 취한다
동일 입자 교환에 의한 상대 부호를 고려한다

최종 결과: $\langle f|S|i\rangle = \delta_{fi} + i(2\pi)^4\delta^{(4)}(p_f - p_i)\mathcal{M}$

4. 기본 과정들

예제QED의 트리 레벨 과정들

QED의 가장 기본적인 $2 \to 2$ 산란 과정들:

1. 뫼러 산란 (Moller scattering): $e^- e^- \to e^- e^-$

$t$ -채널과 $u$ -채널 도형의 합:

i\mathcal{M} = (-ie)^2\left[\frac{\bar{u}(p_3)\gamma^\mu u(p_1)\,\bar{u}(p_4)\gamma_\mu u(p_2)}{(p_1-p_3)^2} - \frac{\bar{u}(p_4)\gamma^\mu u(p_1)\,\bar{u}(p_3)\gamma_\mu u(p_2)}{(p_1-p_4)^2}\right]

두 번째 항의 음의 부호는 동일 페르미온 교환에 의한 것이다.

2. 바바 산란 (Bhabha scattering): $e^+e^- \to e^+e^-$

$t$ -채널(광자 교환)과 $s$ -채널(쌍소멸-생성) 도형의 합.

3. 콤프턴 산란 (Compton scattering): $e^-\gamma \to e^-\gamma$

$s$ -채널과 $u$ -채널 도형의 합:

i\mathcal{M} = (-ie)^2\bar{u}(p')\left[\frac{\not\!\epsilon'^*(\not\!p + \not\!k + m)\not\!\epsilon}{(p+k)^2 - m^2} + \frac{\not\!\epsilon(\not\!p - \not\!k' + m)\not\!\epsilon'^*}{(p-k')^2 - m^2}\right]u(p)

5. 광자 전파함수와 게이지 고정

정의1.4광자 전파함수와 게이지 고정

맥스웰 라그랑지안 $-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ 만으로는 광자 전파함수가 정의되지 않는다 (게이지 자유도 때문). 게이지 고정항(gauge-fixing term)을 추가해야 한다:

\mathcal{L}_{\text{gf}} = -\frac{1}{2\xi}(\partial_\mu A^\mu)^2

일반 $R_\xi$ 게이지에서 광자 전파함수:

\widetilde{D}_{\mu\nu}(q) = \frac{-i}{q^2 + i\epsilon}\left[\eta_{\mu\nu} - (1-\xi)\frac{q_\mu q_\nu}{q^2}\right]

주요 게이지 선택:

파인만 게이지 ( $\xi = 1$ ): $\widetilde{D}_{\mu\nu} = \frac{-i\eta_{\mu\nu}}{q^2 + i\epsilon}$ (계산이 가장 간단)
란다우 게이지 ( $\xi = 0$ ): $\widetilde{D}_{\mu\nu} = \frac{-i}{q^2}(\eta_{\mu\nu} - \frac{q_\mu q_\nu}{q^2})$ (횡파 조건 자동 만족)

물리적 관측량은 $\xi$ 에 의존하지 않는다 (게이지 불변성).

6. 워드-다카하시 항등식

정의1.5워드-다카하시 항등식

QED의 게이지 대칭은 그린 함수 사이의 정확한 관계를 강제한다. 워드-다카하시 항등식(Ward-Takahashi identity):

q_\mu \Gamma^\mu(p+q, p) = S_F^{-1}(p+q) - S_F^{-1}(p)

여기서 $\Gamma^\mu(p', p)$ 는 정확한 꼭짓점 함수(exact vertex function)이고, $S_F(p)$ 는 정확한 페르미온 전파함수(full fermion propagator)이다.

참고워드 항등식의 물리적 귀결

워드-다카하시 항등식의 핵심 귀결:

광자의 질량이 0으로 보호됨: 양자 보정에 의해 광자 질량이 생기지 않는다. 광자 자기 에너지 $\Pi_{\mu\nu}(q)$ 가 $q_\mu\Pi^{\mu\nu} = 0$ 을 만족하므로, $\Pi_{\mu\nu}(q) = (q^2\eta_{\mu\nu} - q_\mu q_\nu)\Pi(q^2)$ 형태를 가지며, $q^2 = 0$ 에서 극이 생기지 않는다.
전하 재규격화의 보편성: 전자 파동함수 재규격화 인자 $Z_2$ 와 꼭짓점 재규격화 인자 $Z_1$ 이 같다: $Z_1 = Z_2$ . 따라서 물리적 전하의 재규격화는 광자 파동함수 재규격화 $Z_3$ 에만 의존한다: $e_{\text{phys}} = Z_3^{-1/2}e_0$ .
전하 보편성: 모든 대전 입자의 전하가 같은 방식으로 재규격화되므로, 전하 보존이 양자 보정에 의해 깨지지 않는다.