산란 단면적 계산 (Cross Section Calculation)

1. 산란 단면적의 정의

정의2.1미분 산란 단면적

산란 단면적(cross section) $\sigma$ 는 산란 과정의 확률을 정량화하는 물리량이다. 차원은 면적 $[\text{길이}]^2$ 이며, 단위로 반(barn, $1\;\text{b} = 10^{-24}\;\text{cm}^2$ )을 사용한다.

입사 플럭스 $\mathcal{F}$ 에 대해 단위 시간당 산란 사건 수는:

\frac{dN}{dt} = \mathcal{F} \cdot \sigma

미분 산란 단면적은 산란 각도에 대한 분포를 기술한다:

\frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{\text{단위 시간당 단위 입체각으로 산란되는 입자 수}}{\text{입사 플럭스}}

2. 파인만 진폭에서 산란 단면적으로

정의2.2산란 단면적 공식

$2 \to n$ 산란 과정의 미분 산란 단면적은:

d\sigma = \frac{1}{2E_A 2E_B |v_A - v_B|} |\mathcal{M}|^2 \, d\Pi_n

여기서 $|\mathcal{M}|^2$ 는 파인만 진폭의 절대값 제곱이고, 로렌츠 불변 위상 공간(Lorentz-invariant phase space)은:

d\Pi_n = \prod_{f=1}^{n} \frac{d^3p_f}{(2\pi)^3} \frac{1}{2E_f} \cdot (2\pi)^4 \delta^{(4)}\!\left(p_A + p_B - \sum_f p_f\right)

$2E_A 2E_B |v_A - v_B| = 4\sqrt{(p_A \cdot p_B)^2 - m_A^2 m_B^2}$ 는 로렌츠 불변량이다. 비편광 입자에 대해서는 초기 상태 스핀을 평균하고 최종 상태 스핀을 합산한다:

\overline{|\mathcal{M}|^2} = \frac{1}{(2s_A+1)(2s_B+1)} \sum_{\text{spins}} |\mathcal{M}|^2

3. $2 \to 2$ 산란의 기구학

정의2.3만델스탐 변수

$2 \to 2$ 산란 $p_1 + p_2 \to p_3 + p_4$ 의 기구학은 세 만델스탐 변수(Mandelstam variables)로 기술된다:

s = (p_1 + p_2)^2, \qquad t = (p_1 - p_3)^2, \qquad u = (p_1 - p_4)^2

이들은 다음 관계를 만족한다:

s + t + u = m_1^2 + m_2^2 + m_3^2 + m_4^2

$s$ : 질량중심 에너지의 제곱 (시간유사 채널)
$t$ : 운동량 전달의 제곱 (공간유사 채널)
$u$ : 교차된 운동량 전달의 제곱

질량중심 좌표계(CM frame)에서 $2 \to 2$ 미분 단면적:

\left(\frac{d\sigma}{d\Omega}\right)_{\text{CM}} = \frac{1}{64\pi^2 s} \frac{|\mathbf{p}_f|}{|\mathbf{p}_i|} \overline{|\mathcal{M}|^2}

동일 질량 입자 ( $m_1 = m_2 = m_3 = m_4$ )일 때 $|\mathbf{p}_f| = |\mathbf{p}_i|$ 이므로 더 간단해진다.

4. 콤프턴 산란: 클라인-니시나 공식

예제콤프턴 산란의 미분 단면적

비편광 전자-광자 산란 $e^-\gamma \to e^-\gamma$ 의 미분 단면적은 클라인-니시나 공식(Klein-Nishina formula)으로 주어진다. 트리 레벨에서:

\overline{|\mathcal{M}|^2} = 2e^4\left[\frac{p\cdot k'}{p\cdot k} + \frac{p\cdot k}{p\cdot k'} + 2m^2\left(\frac{1}{p\cdot k} - \frac{1}{p\cdot k'}\right) + m^4\left(\frac{1}{p\cdot k} - \frac{1}{p\cdot k'}\right)^2\right]

실험실 좌표계에서 전자가 정지해 있고, 입사 광자 에너지가 $\omega$ , 산란 후 에너지가 $\omega'$ 일 때:

\frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{\alpha^2}{2m^2}\left(\frac{\omega'}{\omega}\right)^2\left[\frac{\omega'}{\omega} + \frac{\omega}{\omega'} - \sin^2\theta\right]

여기서 $\omega' = \frac{\omega}{1 + \frac{\omega}{m}(1-\cos\theta)}$ (콤프턴 산란 공식)이다. 저에너지 극한 $\omega \ll m$ 에서:

\frac{d\sigma}{d\Omega} \to \frac{\alpha^2}{2m^2}(1 + \cos^2\theta)

이것은 톰슨 산란(Thomson scattering) 단면적으로, 전체 단면적은 $\sigma_T = \frac{8\pi\alpha^2}{3m^2}$ 이다.

5. 전자-양전자 소멸: $e^+e^- \to \mu^+\mu^-$

예제$e^+e^- \to \mu^+\mu^-$ 전체 단면적

이 과정은 QED의 가장 깨끗한 실험적 검증 중 하나이다. 트리 레벨에서 $s$ -채널 광자 교환만 기여한다:

i\mathcal{M} = (-ie)^2 \frac{-i\eta_{\mu\nu}}{q^2} \bar{v}(p_2)\gamma^\mu u(p_1) \cdot \bar{u}(k_1)\gamma^\nu v(k_2)

스핀 평균/합산 후:

\overline{|\mathcal{M}|^2} = \frac{e^4}{s^2}\text{Tr}[(\not\!p_1 + m_e)\gamma^\mu(\not\!p_2 - m_e)\gamma^\nu] \cdot \text{Tr}[(\not\!k_1 + m_\mu)\gamma_\mu(\not\!k_2 - m_\mu)\gamma_\nu]

$m_e \to 0$ (고에너지 극한)에서 트레이스를 계산하면:

\overline{|\mathcal{M}|^2} = e^4\left(1 + \cos^2\theta + \frac{4m_\mu^2}{s}\sin^2\theta\right)

$\sqrt{s} \gg m_\mu$ 에서 전체 단면적:

\sigma(e^+e^- \to \mu^+\mu^-) = \frac{4\pi\alpha^2}{3s}

이 결과는 고에너지 물리학에서 "단위" 역할을 하며, 하드론 생성 단면적의 비율 $R = \frac{\sigma(e^+e^- \to \text{hadrons})}{\sigma(e^+e^- \to \mu^+\mu^-)}$ 로 쿼크의 전하와 색 자유도를 측정할 수 있다.

6. 붕괴율

정의2.4붕괴율 공식

불안정한 입자의 붕괴율(decay rate) $\Gamma$ 는:

d\Gamma = \frac{1}{2M} |\mathcal{M}|^2 \, d\Pi_n

여기서 $M$ 은 붕괴하는 입자의 질량이고, $d\Pi_n$ 은 $n$ -체 최종 상태의 로렌츠 불변 위상 공간이다. 전체 붕괴율은 모든 가능한 채널의 합이다:

\Gamma_{\text{total}} = \sum_f \Gamma_f

입자의 수명 $\tau$ 와 전체 붕괴율의 관계: $\tau = 1/\Gamma_{\text{total}}$ .

분기비(branching ratio)는 특정 채널의 비율이다: $\text{BR}_f = \Gamma_f / \Gamma_{\text{total}}$ .

참고광학 정리

광학 정리(optical theorem)는 전체 산란 단면적과 전방 산란 진폭을 연결한다:

\sigma_{\text{total}} = \frac{1}{s} \, \text{Im}\,\mathcal{M}(s, t=0)

또한 불안정 입자의 전체 붕괴율과 자기 에너지의 허수 부분을 연결한다:

\Gamma = -\frac{1}{M}\text{Im}\,\Sigma(p^2 = M^2)

광학 정리는 유니타리티( $S^\dagger S = I$ )의 직접적 결과이며, 섭동 계산의 일관성을 점검하는 중요한 도구이다. 물리적으로, 전방 산란 진폭의 허수 부분은 모든 가능한 중간 상태로의 전이 확률의 합을 반영한다.