⚛

물리학 강의 노트

개념완성

자외선 발산 (Ultraviolet Divergences)

1. 발산의 기원

양자장론에서 루프 도형(loop diagram)을 계산하면, 루프 운동량에 대한 적분이 종종 발산(diverge)한다. 이 발산은 높은 운동량(짧은 거리)에서 오므로 자외선 발산(ultraviolet divergence, UV divergence)이라 한다.

정의1.1자외선 발산

루프 적분에서 내부 운동량 k→∞k \to \infty일 때 피적분함수가 충분히 빨리 감소하지 않으면, 적분이 발산한다. dd-차원 시공간에서 LL-루프 도형의 표면 발산 차수(superficial degree of divergence) DD는:

D=dL−2IB−IFD = dL - 2I_B - I_F

여기서 IBI_B는 내부 보손 선의 수, IFI_F는 내부 페르미온 선의 수이다. QED (d=4d=4)에서:

D=4−32NF−NBD = 4 - \frac{3}{2}N_F - N_B

여기서 NFN_F는 외부 페르미온 선, NBN_B는 외부 광자 선의 수이다.

D≥0D \geq 0이면 해당 도형은 (표면적으로) 발산한다. QED에서 D≥0D \geq 0인 도형은 유한개뿐이며, 이것이 QED가 재규격화 가능(renormalizable)한 이유이다.

2. QED의 발산하는 도형들

예제QED의 원시 발산 도형

QED에서 D≥0D \geq 0인 원시 발산 도형(primitively divergent diagrams):

1. 진공 편극 (Vacuum Polarization) — NF=0,NB=2N_F=0, N_B=2, D=2D=2

Πμν(q)=−e2∫d4k(2π)4Tr[γμi(̸ ⁣k+m)k2−m2γνi(̸ ⁣k+̸ ⁣q+m)(k+q)2−m2]\Pi_{\mu\nu}(q) = -e^2\int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}\text{Tr}\left[\gamma_\mu\frac{i(\not\!k+m)}{k^2-m^2}\gamma_\nu\frac{i(\not\!k+\not\!q+m)}{(k+q)^2-m^2}\right]

k→∞k \to \infty에서 피적분함수 ∼1/k2\sim 1/k^2이므로 ∫d4k/k2\int d^4k/k^2는 2차 발산 (D=2D=2). 그러나 게이지 대칭(워드 항등식)에 의해 Πμν(q)=(q2ημν−qμqν)Π(q2)\Pi_{\mu\nu}(q) = (q^2\eta_{\mu\nu}-q_\mu q_\nu)\Pi(q^2)이므로, 실제 발산 차수는 로그 발산으로 낮아진다.

2. 전자 자기 에너지 (Electron Self-Energy) — NF=2,NB=0N_F=2, N_B=0, D=1D=1

−iΣ(p)=(−ie)2∫d4k(2π)4γμi(̸ ⁣p−̸ ⁣k+m)(p−k)2−m2γμ−ik2-i\Sigma(p) = (-ie)^2\int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}\gamma^\mu\frac{i(\not\!p-\not\!k+m)}{(p-k)^2-m^2}\gamma_\mu\frac{-i}{k^2}

D=1D=1이므로 표면적으로 선형 발산. 로렌츠 구조에 의해 실제로는 로그 발산이다.

3. 꼭짓점 보정 (Vertex Correction) — NF=2,NB=1N_F=2, N_B=1, D=0D=0

−ieΓμ(p′,p)=(−ie)3∫d4k(2π)4γνi(̸ ⁣p′−̸ ⁣k+m)(p′−k)2−m2γμi(̸ ⁣p−̸ ⁣k+m)(p−k)2−m2γν−ik2-ie\Gamma^\mu(p',p) = (-ie)^3\int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}\gamma^\nu\frac{i(\not\!p'-\not\!k+m)}{(p'-k)^2-m^2}\gamma^\mu\frac{i(\not\!p-\not\!k+m)}{(p-k)^2-m^2}\gamma_\nu\frac{-i}{k^2}

D=0D=0이므로 로그 발산이다.

3. 발산의 구조

정의1.21PI 도형과 발산의 분류

1-입자 기약 도형(one-particle irreducible, 1PI)은 어떤 하나의 내부선을 끊어도 두 조각으로 나뉘지 않는 도형이다. 모든 발산은 1PI 도형의 발산으로부터 온다.

발산의 종류:

  • 로그 발산: ∫Λdkk∼ln⁡Λ\int^\Lambda \frac{dk}{k} \sim \ln\Lambda (컷오프 Λ\Lambda에 로그적으로 의존)
  • 선형 발산: ∫Λdk∼Λ\int^\Lambda dk \sim \Lambda (컷오프에 선형 의존)
  • 2차 발산: ∫Λk dk∼Λ2\int^\Lambda k\,dk \sim \Lambda^2 (컷오프에 2차 의존)

여기서 Λ\Lambda는 자외선 컷오프(UV cutoff)로, 이론이 더 이상 유효하지 않은 에너지 스케일을 나타낸다.

4. 발산의 물리적 의미

참고자외선 발산은 무지의 반영

자외선 발산은 양자장론의 결함이 아니라, 우리의 무지(ignorance)를 반영한다:

  1. 높은 에너지 E≫ΛE \gg \Lambda에서 새로운 물리가 있을 수 있다. 현재의 이론은 에너지 E≲ΛE \lesssim \Lambda에서만 유효한 유효장론(effective field theory, EFT)이다.

  2. 발산하는 적분은 단거리(r∼1/Λr \sim 1/\Lambda) 물리의 세부사항이 장거리 물리에 미치는 영향을 포함한다. 재규격화는 이 영향을 유한개의 매개변수(질량, 결합상수, 장의 규격화)에 흡수시킨다.

  3. 재규격화 가능한 이론에서는 유한개의 매개변수만 재정의하면 모든 차수에서 유한한 결과를 얻는다. 이것이 예측력을 보장한다.

5. 적외선 발산

정의1.3적외선 발산

자외선 발산과 별개로, 낮은 운동량(k→0k \to 0)에서 오는 적외선 발산(infrared divergence, IR divergence)도 존재한다. QED에서 광자가 무질량이므로, 연성 광자(soft photon) 방출을 포함하면:

∫0d3k2∣k∣1∣k∣n→∞(n≥0)\int_0 \frac{d^3k}{2|\mathbf{k}|} \frac{1}{|\mathbf{k}|^n} \to \infty \quad (n \geq 0)

이 적외선 발산은 실제 연성 광자 방출(bremsstrahlung)의 기여를 합하면 상쇄된다. 블로흐-노르트시크 정리(Bloch-Nordsieck theorem):

σvirtual+σreal soft=유한\sigma_{\text{virtual}} + \sigma_{\text{real soft}} = \text{유한}

즉, 관측 가능한 양(충분한 에너지 분해능 이하의 연성 광자를 포함한 포괄적 단면적)에서는 적외선 발산이 사라진다.

6. 멱세기와 재규격화 가능성

정의1.4재규격화 가능성의 분류

d=4d=4에서 상호작용항 gϕng\phi^n의 결합상수 gg의 질량 차원을 [g]=4−n[ϕ][g] = 4 - n[\phi]로 계산한다. 결합상수의 차원에 따라 이론을 분류한다:

  • 초재규격화 가능(super-renormalizable): [g]>0[g] > 0. 유한 차수의 도형만 발산. 예: ϕ3\phi^3 (d=4d=4)
  • 재규격화 가능(renormalizable): [g]=0[g] = 0 (무차원). 매 차수마다 같은 종류의 발산이 나타나지만, 유한개의 상쇄항(counterterm)으로 제거 가능. 예: ϕ4\phi^4, QED, 양-밀스 이론
  • 재규격화 불가능(non-renormalizable): [g]<0[g] < 0. 차수가 높아질수록 새로운 종류의 발산이 나타나, 무한개의 상쇄항이 필요. 예: 일반상대론 ([GN]=−2[G_N] = -2), 페르미 이론 ([GF]=−2[G_F] = -2)

재규격화 불가능한 이론도 유효장론으로서 유용하다. 주어진 에너지 스케일 이하에서 유한 정밀도까지 체계적 예측이 가능하다.