양-밀스 이론 (Yang-Mills Theory)

1. 비아벨 게이지 대칭

QED는 아벨 게이지 군 $U(1)$ 에 기반한다. 양-밀스 이론(Yang and Mills, 1954)은 이를 비아벨(non-Abelian) 게이지 군 $G$ (예: $SU(N)$ )로 일반화한다.

정의1.1비아벨 게이지 변환

물질장 $\psi(x)$ 가 게이지 군 $G$ 의 기본 표현(fundamental representation)에 속할 때, 국소 게이지 변환(local gauge transformation)은:

\psi(x) \to U(x)\psi(x), \qquad U(x) = \exp(ig\alpha^a(x)T^a) \in G

여기서 $T^a$ ( $a = 1, \ldots, \dim G$ )는 군의 생성원(generator)이고, $g$ 는 게이지 결합상수이다. $SU(N)$ 의 경우 $T^a$ 는 $N\times N$ 에르미트 무대각합 행렬로, 리 대수를 만족한다:

[T^a, T^b] = if^{abc}T^c

여기서 $f^{abc}$ 는 구조 상수(structure constants)이다. $f^{abc} \neq 0$ 이므로 군이 비아벨이다.

기본 표현의 규격화: $\text{Tr}(T^aT^b) = \frac{1}{2}\delta^{ab}$ . $SU(2)$ 의 경우 $T^a = \sigma^a/2$ (파울리 행렬), $SU(3)$ 의 경우 $T^a = \lambda^a/2$ (겔만 행렬).

2. 게이지 공변 도함수와 게이지 장

정의1.2공변 도함수

일반 도함수 $\partial_\mu\psi$ 는 게이지 공변적으로 변환하지 않는다. 공변 도함수(covariant derivative)를 정의한다:

D_\mu = \partial_\mu - igA_\mu, \qquad A_\mu(x) = A_\mu^a(x)T^a

$D_\mu\psi$ 가 $\psi$ 와 같은 방식으로 변환하려면:

D_\mu\psi \to U(x)D_\mu\psi

이 조건에서 게이지 장(gauge field) $A_\mu$ 의 변환 법칙이 결정된다:

A_\mu \to UA_\mu U^{-1} + \frac{i}{g}U\partial_\mu U^{-1}

무한소 변환 $U \approx 1 + ig\alpha^aT^a$ 에서:

A_\mu^a \to A_\mu^a + \partial_\mu\alpha^a + gf^{abc}A_\mu^b\alpha^c = A_\mu^a + \frac{1}{g}(D_\mu\alpha)^a

QED와 달리, 마지막 항 $gf^{abc}A_\mu^b\alpha^c$ 가 추가로 있다. 이것이 비아벨 구조의 핵심이다.

3. 양-밀스 장 텐서

정의1.3비아벨 장 세기 텐서

비아벨 장 세기 텐서(non-Abelian field strength tensor):

F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu - ig[A_\mu, A_\nu]

성분으로:

F_{\mu\nu}^a = \partial_\mu A_\nu^a - \partial_\nu A_\mu^a + gf^{abc}A_\mu^b A_\nu^c

QED의 $F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$ 와 비교하면, $gf^{abc}A_\mu^bA_\nu^c$ 항이 추가된다. 이 비선형 항이 게이지 장의 자기 상호작용(self-interaction)을 야기한다.

게이지 변환 하에서:

F_{\mu\nu} \to UF_{\mu\nu}U^{-1}

즉, $F_{\mu\nu}$ 는 수반 표현(adjoint representation)으로 변환한다.

4. 양-밀스 라그랑지안

정의1.4양-밀스 라그랑지안

양-밀스 라그랑지안:

\mathcal{L}_{\text{YM}} = -\frac{1}{2}\text{Tr}(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}) = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}^a F^{a\mu\nu}

물질장을 포함한 전체 라그랑지안:

\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}^aF^{a\mu\nu} + \bar{\psi}(i\not\!D - m)\psi

양-밀스 항을 전개하면:

-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}^aF^{a\mu\nu} = -\frac{1}{4}(\partial_\mu A_\nu^a - \partial_\nu A_\mu^a)^2 - gf^{abc}(\partial_\mu A_\nu^a)A^{b\mu}A^{c\nu} - \frac{g^2}{4}f^{abc}f^{ade}A_\mu^bA_\nu^cA^{d\mu}A^{e\nu}

첫째 항: 자유 게이지 장 (QED와 같음)
둘째 항: 3-게이지 보손 꼭짓점 (3점 자기 상호작용)
셋째 항: 4-게이지 보손 꼭짓점 (4점 자기 상호작용)

이 자기 상호작용은 비아벨 이론의 가장 중요한 특징이며, 점근적 자유의 원인이다.

5. 파데예프-포포프 유령과 양자화

정의1.5파데예프-포포프 유령

비아벨 게이지 이론의 양자화에서 게이지 고정 절차는 QED보다 복잡하다. 파데예프-포포프(Faddeev-Popov) 절차에 의해 유령장(ghost field) $c^a(x)$ , $\bar{c}^a(x)$ 을 도입해야 한다.

게이지 고정과 유령장을 포함한 유효 라그랑지안:

\mathcal{L}_{\text{eff}} = \mathcal{L}_{\text{YM}} - \frac{1}{2\xi}(\partial_\mu A^{a\mu})^2 + \bar{c}^a\partial^\mu(D_\mu c)^a

유령장의 성질:

스칼라장이지만 페르미 통계를 따른다 (그래스만 변수)
물리적 입자가 아니라, 게이지 자유도의 올바른 처리를 보장하는 수학적 도구
루프 도형에서 비물리적 자유도의 기여를 상쇄

참고BRST 대칭

게이지 고정과 유령 도입 후에도, 유효 라그랑지안은 BRST 대칭(Becchi-Rouet-Stora-Tyutin symmetry)이라는 전역 대칭을 보존한다. BRST 변환:

s A_\mu^a = (D_\mu c)^a, \quad s c^a = \frac{g}{2}f^{abc}c^b c^c, \quad s\bar{c}^a = \frac{1}{\xi}\partial_\mu A^{a\mu}

핵심 성질: $s^2 = 0$ (멱영성, nilpotency). BRST 대칭은:

유니타리티 보장: 물리적 힐베르트 공간에서 $S$ -행렬이 유니터리
재규격화 가능성 증명: 슬라브노프-테일러 항등식의 기초
물리적 상태의 정의: BRST-닫힌 상태가 물리적 상태

6. 비아벨 파인만 규칙

예제$SU(N)$ 양-밀스 이론의 파인만 규칙 요약

파인만 게이지 ( $\xi = 1$ )에서:

전파함수:

글루온: $\frac{-i\delta^{ab}\eta_{\mu\nu}}{k^2 + i\epsilon}$
유령: $\frac{i\delta^{ab}}{k^2 + i\epsilon}$

꼭짓점:

3-글루온:

gf^{abc}[\eta_{\mu\nu}(k_1-k_2)_\rho + \eta_{\nu\rho}(k_2-k_3)_\mu + \eta_{\rho\mu}(k_3-k_1)_\nu]

4-글루온:

-ig^2[f^{abe}f^{cde}(\eta_{\mu\rho}\eta_{\nu\sigma}-\eta_{\mu\sigma}\eta_{\nu\rho}) + \text{순환}]

글루온-유령: $gf^{abc}k_\mu$ ( $k$ 는 나가는 유령의 운동량)
글루온-쿼크: $-ig\gamma^\mu T^a$

3-글루온과 4-글루온 꼭짓점은 QED에는 없는 순수 양-밀스 이론의 자기 상호작용이다. 이들이 점근적 자유를 만들어낸다.