물리학 강의 노트

정의2.1자발적 대칭 깨짐

자발적 대칭 깨짐(Spontaneous Symmetry Breaking, SSB)이란, 라그랑지안(작용)은 대칭을 가지지만 바닥 상태(진공)가 그 대칭을 가지지 않는 현상이다.

형식적으로, 대칭 변환 $Q$ 에 대해:

[Q, \mathcal{L}] = 0 \quad \text{(라그랑지안은 대칭)}

Q|0\rangle \neq 0 \quad \text{(진공이 대칭을 깨뜨림)}

"자발적"이라는 용어는, 대칭이 외부에서 명시적으로 깨진 것이 아니라 시스템 자체가 비대칭적 바닥 상태를 선택한다는 의미이다.

예제복소 스칼라장의 자발적 대칭 깨짐

복소 스칼라장 $\phi(x)$ 의 라그랑지안:

\mathcal{L} = \partial_\mu\phi^*\partial^\mu\phi - V(\phi), \qquad V(\phi) = \mu^2|\phi|^2 + \lambda|\phi|^4

여기서 $\lambda > 0$ (안정성)이다. 두 경우:

$\mu^2 > 0$ : 퍼텐셜 최소점은 $\phi = 0$ . 대칭이 보존됨.
$\mu^2 < 0$ : "멕시칸 모자" 퍼텐셜. 최소점은 $|\phi| = v/\sqrt{2}$ , $v = \sqrt{-\mu^2/\lambda}$ 인 원 위의 모든 점.

\langle\phi\rangle = \frac{v}{\sqrt{2}}e^{i\theta_0}

하나의 $\theta_0$ 를 선택하면 (예: $\theta_0 = 0$ ) $U(1)$ 대칭이 자발적으로 깨진다.

최소점 주위에서 $\phi = \frac{1}{\sqrt{2}}(v + \sigma(x) + i\pi(x))$ 로 전개하면:

법칙5.1골드스톤 정리

골드스톤 정리(Goldstone's theorem): 연속 전역 대칭이 자발적으로 깨지면, 깨진 대칭의 각 생성원에 대응하는 무질량 스칼라 입자(골드스톤 보손, Goldstone boson)가 존재한다.

형식적으로: 대칭 군 $G$ 가 잔여 대칭 군 $H$ 로 깨지면, 골드스톤 보손의 수는:

N_{\text{GB}} = \dim G - \dim H

유도골드스톤 정리의 증명

대칭 변환의 생성원 $Q^a$ 에 대해, $Q^a|0\rangle \neq 0$ (깨진 생성원)이라 하자. 전하 보존 $[H, Q^a] = 0$ 이므로:

H(Q^a|0\rangle) = Q^a(H|0\rangle) = E_0(Q^a|0\rangle)

따라서 $Q^a|0\rangle$ 은 에너지 $E_0$ (진공 에너지)를 가진 상태이다. 그러나 $Q^a|0\rangle$ 은 진공과 다른 상태이므로 ( $Q^a|0\rangle \neq 0$ ), 진공과 같은 에너지를 가진 여기 상태가 존재한다.

더 엄밀하게, 보존류 $j^{a\mu}$ 에 대해:

\langle 0|j^{a\mu}(x)|\pi^b(\mathbf{p})\rangle = -ip^\mu f \delta^{ab} e^{-ip\cdot x}

이것이 0이 아니려면 ( $f \neq 0$ ), $|\pi^b(\mathbf{p})\rangle$ 이 $p^2 = 0$ 인 무질량 상태여야 한다. 이 무질량 상태가 골드스톤 보손이다.

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예제$SU(2)$에서 $U(1)$로의 대칭 깨짐

$SU(2)$ 이중항(doublet) 스칼라장:

\Phi = \begin{pmatrix}\phi_1 + i\phi_2 \\ \phi_3 + i\phi_4\end{pmatrix}

퍼텐셜 $V(\Phi) = \mu^2\Phi^\dagger\Phi + \lambda(\Phi^\dagger\Phi)^2$ , $\mu^2 < 0$ 일 때:

\langle\Phi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0\\v\end{pmatrix}, \qquad v = \sqrt{-\mu^2/\lambda}

$SU(2)$ 의 3개 생성원 중, $T^3$ 만 $\langle\Phi\rangle$ 을 불변으로 남긴다. 따라서:

참고자발적 대칭 깨짐의 물리적 예시

자발적 대칭 깨짐은 물리학의 다양한 분야에서 나타난다:

입자물리:

응집물질물리:

우주론:

정의2.2대칭 깨짐의 종류

대칭 깨짐의 두 종류를 구별해야 한다:

명시적 깨짐(explicit breaking): 라그랑지안 자체가 대칭을 가지지 않음.

자발적 깨짐(spontaneous breaking): 라그랑지안은 대칭이지만 바닥 상태가 아님.

이상(anomaly)에 의한 깨짐: 고전적 대칭이 양자 보정에 의해 깨짐.

자발적 대칭 깨짐 (Spontaneous Symmetry Breaking)