전약 통일 (Electroweak Unification)

1. 약한 상호작용의 구조

약한 상호작용은 하전 전류(charged current, CC)와 중성 전류(neutral current, NC)로 나뉜다. 역사적으로 베타 붕괴( $n \to p + e^- + \bar{\nu}_e$ )로 처음 관측되었으며, 페르미의 4-페르미온 이론으로 기술되었다:

\mathcal{L}_{\text{Fermi}} = -\frac{G_F}{\sqrt{2}}J_\mu^{\text{CC}\dagger}J^{\text{CC}\mu}

$G_F \approx 1.166 \times 10^{-5}\;\text{GeV}^{-2}$ 는 페르미 상수이다. 그러나 이 이론은 재규격화 불가능( $[G_F] = -2$ )하여, 고에너지에서 유니타리티를 위반한다.

2. 글래쇼-살람-와인버그 모형

정의1.1전약 게이지 군

글래쇼-살람-와인버그(Glashow-Salam-Weinberg, GSW) 모형은 약한 상호작용과 전자기 상호작용을 하나의 게이지 이론으로 통일한다:

G_{\text{EW}} = SU(2)_L \times U(1)_Y

$SU(2)_L$ : 약한 동위스핀(weak isospin), 결합상수 $g$ , 게이지 장 $W_\mu^{1,2,3}$
$U(1)_Y$ : 약한 초전하(weak hypercharge), 결합상수 $g'$ , 게이지 장 $B_\mu$

첨자 $L$ 은 좌손 페르미온만 $SU(2)_L$ 의 이중항을 형성함을 나타낸다. 이것이 약한 상호작용의 패리티 비보존(parity violation)의 기원이다.

전기 전하는 겔만-니시지마 관계에 의해:

Q = T^3 + Y

여기서 $T^3$ 은 약한 동위스핀의 세 번째 성분, $Y$ 는 약한 초전하이다.

3. 렙톤 섹터의 양자수

정의1.2렙톤의 전약 양자수

한 세대의 렙톤 양자수 (전자 세대):

| 장 | $SU(2)_L$ | $Y$ | $Q = T^3 + Y$ | |:---|:---:|:---:|:---:| | $L_e = \begin{pmatrix}\nu_e\\e\end{pmatrix}_L$ | 2 | $-\frac{1}{2}$ | $\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}$ | | $e_R$ | 1 | $-1$ | $-1$ |

$\nu_{eR}$ 은 표준모형에 포함되지 않는다 (우손 중성미자 부재).

두 번째 세대: $\begin{pmatrix}\nu_\mu\\\mu\end{pmatrix}_L$ , $\mu_R$

세 번째 세대: $\begin{pmatrix}\nu_\tau\\\tau\end{pmatrix}_L$ , $\tau_R$

세 세대의 구조는 동일하며, 질량(유카와 결합)만 다르다.

4. 하전 전류와 중성 전류

유도약한 상호작용의 전류 구조

$SU(2)_L$ 게이지 상호작용:

\mathcal{L}_{\text{int}} = -g\bar{L}\gamma^\mu\frac{\sigma^a}{2}L\,W_\mu^a - g'Y\bar{f}\gamma^\mu f\,B_\mu

하전 전류: $W_\mu^\pm = (W_\mu^1 \mp iW_\mu^2)/\sqrt{2}$ 에 결합:

\mathcal{L}_{\text{CC}} = -\frac{g}{\sqrt{2}}\left(\bar{\nu}_{eL}\gamma^\mu e_L\,W_\mu^+ + \bar{e}_L\gamma^\mu\nu_{eL}\,W_\mu^-\right)

저에너지에서 $W$ 전파함수를 $1/m_W^2$ 로 근사하면 페르미 이론이 재현된다:

\frac{G_F}{\sqrt{2}} = \frac{g^2}{8m_W^2}

중성 전류: $Z_\mu$ 와 $A_\mu$ 에 결합:

\mathcal{L}_{\text{NC}} = -eJ_\mu^{\text{em}}A^\mu - \frac{g}{\cos\theta_W}\left(J_\mu^3 - \sin^2\theta_W J_\mu^{\text{em}}\right)Z^\mu

중성 전류의 존재는 1973년 가가멜(Gargamelle) 거품상자 실험에서 $\bar{\nu}_\mu e^- \to \bar{\nu}_\mu e^-$ 과정으로 처음 확인되었다.

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5. 이상 상쇄 조건

정의1.3게이지 이상 상쇄

양자 수준에서 게이지 대칭이 보존되려면 게이지 이상(gauge anomaly)이 상쇄되어야 한다. 삼각 도형에서:

\mathcal{A}^{abc} \propto \text{Tr}[\{T^a, T^b\}T^c]

이 0이 아니면 게이지 대칭이 양자 수준에서 깨져, 이론의 재규격화 가능성과 유니타리티가 파괴된다.

표준모형에서 이상 상쇄 조건:

\sum_{\text{left}} T^a\{T^b, T^c\} - \sum_{\text{right}} T^a\{T^b, T^c\} = 0

이 조건은 각 세대 내에서 렙톤과 쿼크의 양자수가 적절히 맞물려야 성립한다. 핵심 조건들:

$[SU(2)]^2 U(1)$ : $\sum Y_L = \sum Y_R$ $\Rightarrow$ $3 \times 2 \times \frac{1}{6} + 1 \times 2 \times (-\frac{1}{2}) = 0$ (성립!)
$[U(1)]^3$ : $\sum Y_L^3 = \sum Y_R^3$ (쿼크 3색을 포함하면 성립!)
중력-게이지 이상: $\sum Y_L = \sum Y_R$ (역시 성립!)

이상 상쇄는 쿼크와 렙톤이 동시에 존재해야 성립한다. 이것은 쿼크-렙톤 상보성의 심오한 단서이며, 대통일 이론의 동기 중 하나이다.

6. 전약 정밀 검증

예제전약 이론의 정밀 검증

LEP (Large Electron-Positron Collider)와 SLC에서 $Z$ 보손 공명 주변의 정밀 측정:

$Z$ 보손의 성질:

$m_Z = 91.1876 \pm 0.0021\;\text{GeV}$
$\Gamma_Z = 2.4952 \pm 0.0023\;\text{GeV}$ (전체 붕괴폭)
$Z$ 의 비가시(invisible) 붕괴폭으로부터: 경량 중성미자 종류 수 $N_\nu = 2.9840 \pm 0.0082$ (3종과 일치)

$\rho$ 매개변수:

\rho \equiv \frac{m_W^2}{m_Z^2\cos^2\theta_W}

트리 레벨에서 $\rho = 1$ (커스터디얼 $SU(2)$ 대칭의 결과). 양자 보정:

\Delta\rho \approx \frac{3G_F}{8\sqrt{2}\pi^2}m_t^2

꼭대기 쿼크 질량 $m_t$ 에 2차로 의존한다. $\rho$ 의 정밀 측정으로 $m_t$ 가 직접 발견되기 전에 예측되었다 ( $m_t^{\text{predicted}} \approx 170\;\text{GeV}$ , 실측 $m_t \approx 173\;\text{GeV}$ ).

이와 같은 정밀 검증은 표준모형의 양자 구조가 정확함을 $10^{-3}$ 수준으로 확인했다.