양자색역학 (Quantum Chromodynamics)

1. 색 전하와 $SU(3)_c$

정의2.1양자색역학

양자색역학(Quantum Chromodynamics, QCD)은 강한 상호작용을 기술하는 비아벨 게이지 이론이다:

게이지 군: $SU(3)_c$ (색 대칭)
게이지 보손: 8개의 글루온(gluon) $G_\mu^a$ ( $a = 1,\ldots,8$ )
물질장: 쿼크(quark) $q_f$ — $SU(3)_c$ 의 기본 표현 (3, 3가지 색)
결합상수: $g_s$ , $\alpha_s = g_s^2/(4\pi)$

QCD 라그랑지안:

\mathcal{L}_{\text{QCD}} = -\frac{1}{4}G_{\mu\nu}^a G^{a\mu\nu} + \sum_{f=1}^{N_f}\bar{q}_f(i\not\!D - m_f)q_f

여기서 $G_{\mu\nu}^a = \partial_\mu G_\nu^a - \partial_\nu G_\mu^a + g_s f^{abc}G_\mu^b G_\nu^c$ 이고, $D_\mu = \partial_\mu - ig_s T^a G_\mu^a$ 이다.

$SU(3)$ 의 기본 표현에서 $T^a = \lambda^a/2$ (겔만 행렬). 카시미르 연산자: $C_F = (N^2-1)/(2N) = 4/3$ (기본 표현), $C_A = N = 3$ (수반 표현).

2. 색 가둠

정의2.2색 가둠

색 가둠(color confinement)이란, 자유 상태에서 관측되는 입자는 반드시 색 단일항(color singlet)이어야 한다는 원리이다. 즉, 자유 쿼크나 글루온은 관측되지 않으며, 항상 하드론(hadron) 속에 속박되어 있다.

하드론의 종류:

메존(meson): $q\bar{q}$ ( $\mathbf{3}\otimes\bar{\mathbf{3}} = \mathbf{1}\oplus\mathbf{8}$ 에서 단일항)
바리온(baryon): $qqq$ ( $\mathbf{3}\otimes\mathbf{3}\otimes\mathbf{3} = \mathbf{1}\oplus\cdots$ 에서 반대칭 단일항 $\epsilon^{ijk}q_iq_jq_k$ )
이국적 하드론: 테트라쿼크 ( $qq\bar{q}\bar{q}$ ), 펜타쿼크 ( $qqqq\bar{q}$ ), 글루볼 ( $gg, ggg$ ) 등

정성적 이해: QCD의 강한 결합 영역( $E \lesssim \Lambda_{\text{QCD}} \sim 200\;\text{MeV}$ )에서 글루온 장의 플럭스 튜브(flux tube)가 형성된다. 쿼크를 분리하려 하면 퍼텐셜이 거리에 선형적으로 증가:

V(r) \sim \sigma r \quad (r \to \infty)

여기서 $\sigma \approx (440\;\text{MeV})^2$ 는 끈 장력(string tension)이다. 에너지가 충분히 커지면 새 $q\bar{q}$ 쌍이 생성되어 분리가 불가능하다.

3. 점근적 자유와 섭동적 QCD

예제$e^+e^- \to \text{hadrons}$와 $R$-비율

고에너지 $e^+e^-$ 충돌에서 하드론 생성의 전체 단면적 대 뮤온 쌍 생성 단면적의 비율:

R = \frac{\sigma(e^+e^- \to \text{hadrons})}{\sigma(e^+e^- \to \mu^+\mu^-)} = N_c\sum_f Q_f^2\left(1 + \frac{\alpha_s}{\pi} + \cdots\right)

여기서 $N_c = 3$ 은 색의 수, 합은 $\sqrt{s}/2 > m_f$ 인 쿼크 맛에 대해 수행한다.

$\sqrt{s} < 2m_c$ : $u, d, s$ 활성 $\Rightarrow$ $R = 3(\frac{4}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}) = 2$
$2m_c < \sqrt{s} < 2m_b$ : $u, d, s, c$ 활성 $\Rightarrow$ $R = 3(\frac{4}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{4}{9}) = \frac{10}{3}$
$\sqrt{s} > 2m_b$ : $u, d, s, c, b$ 활성 $\Rightarrow$ $R = 3(\frac{4}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{4}{9}+\frac{1}{9}) = \frac{11}{3}$

$N_c = 3$ 의 인자는 색 자유도의 직접적 증거이다. $\alpha_s/\pi$ 보정항의 정밀 측정으로 $\alpha_s(m_Z) \approx 0.118$ 이 결정된다.

4. QCD의 키랄 대칭

정의2.3키랄 대칭과 그 깨짐

경량 쿼크( $u, d, s$ )의 질량이 $\Lambda_{\text{QCD}}$ 보다 훨씬 작으므로, QCD는 근사적인 키랄 대칭(chiral symmetry)을 가진다:

SU(N_f)_L \times SU(N_f)_R \times U(1)_V \times U(1)_A

$N_f = 2$ (업, 다운)의 경우:

자발적 깨짐: $SU(2)_L \times SU(2)_R \to SU(2)_V$ (동위스핀)

쿼크 응축에 의해:

\langle\bar{q}q\rangle = \langle\bar{u}u + \bar{d}d\rangle \approx -(250\;\text{MeV})^3 \neq 0

골드스톤 보손: 3개의 파이온 ( $\pi^+, \pi^-, \pi^0$ )

파이온은 정확한 골드스톤 보손이 아니라, 쿼크 질량에 의한 명시적 대칭 깨짐으로 작은 질량을 가진 유사 골드스톤 보손(pseudo-Goldstone boson)이다:

m_\pi^2 = \frac{(m_u + m_d)|\langle\bar{q}q\rangle|}{f_\pi^2}

여기서 $f_\pi \approx 93\;\text{MeV}$ 는 파이온 붕괴 상수이다.

5. 격자 QCD

정의2.4격자 QCD

격자 QCD(Lattice QCD)는 QCD를 시공간 격자 위에서 비섭동적으로 계산하는 방법이다. 윌슨의 격자 작용:

S_{\text{lattice}} = \beta\sum_{\text{plaquettes}}\left(1 - \frac{1}{N_c}\text{Re}\,\text{Tr}\,U_\square\right) + \sum_{x,\mu}\bar{\psi}(x)\left[\gamma^\mu\frac{U_\mu(x)\psi(x+\hat{\mu}) - U_{-\mu}(x)\psi(x-\hat{\mu})}{2a} + m\psi(x)\right]

여기서 $U_\mu(x) = e^{ig_s a A_\mu(x)} \in SU(3)$ 은 링크 변수(link variable), $U_\square$ 는 격자 한 칸 둘레의 경로 순서 곱(plaquette)이다.

격자 QCD의 주요 성과:

하드론 질량 스펙트럼: 양성자, 중성자 등의 질량을 $\sim 1\%$ 정밀도로 계산
쿼크 질량 결정: $\overline{\text{MS}}$ 방식 쿼크 질량의 정밀 결정
색 가둠 증명: 윌슨 루프의 면적 법칙(area law) 확인
유한 온도 QCD: 쿼크-글루온 플라스마(QGP) 상전이 연구

6. QCD의 위상학적 측면

참고인스턴톤과 $\theta$-진공

QCD에는 비자명한 위상학적 구조가 있다. 유클리드 공간에서의 인스턴톤(instanton)은 작용이 유한한 비자명 게이지 장 배위로:

S_{\text{inst}} = \frac{8\pi^2}{g_s^2}|n|

여기서 $n \in \mathbb{Z}$ 는 위상학적 전하(winding number)이다. 이에 의해 QCD 라그랑지안에 $\theta$ -항이 추가된다:

\mathcal{L}_\theta = \frac{\theta g_s^2}{32\pi^2}G_{\mu\nu}^a\tilde{G}^{a\mu\nu}

여기서 $\tilde{G}^{a\mu\nu} = \frac{1}{2}\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}G_{\rho\sigma}^a$ 이다. 이 항은 $CP$ 대칭을 깨뜨린다. 중성자 전기 쌍극자 모멘트의 실험적 상한으로부터:

|\theta_{\text{eff}}| \lesssim 10^{-10}

왜 $\theta$ 가 이토록 작은지가 강한 $CP$ 문제(strong CP problem)이다. 펙세이-퀸(Peccei-Quinn) 대칭과 액시온(axion)이 가장 유력한 해결책이며, 액시온은 암흑물질 후보이기도 하다.