물리학 강의 노트

정의3.1표준모형의 게이지 군

표준모형(Standard Model, SM)은 알려진 모든 기본 상호작용(중력 제외)을 기술하는 양자장론이다. 게이지 군:

G_{\text{SM}} = SU(3)_c \times SU(2)_L \times U(1)_Y

$SU(3)_c$ : 강한 상호작용 (QCD), 결합상수 $g_s$ , 8 글루온
$SU(2)_L$ : 약한 동위스핀, 결합상수 $g$ , 3 약한 보손 $W^{1,2,3}$
$U(1)_Y$ : 약한 초전하, 결합상수 $g'$ , 1 초전하 보손 $B$

자발적 대칭 깨짐 후: $SU(3)_c \times SU(2)_L \times U(1)_Y \to SU(3)_c \times U(1)_{\text{em}}$

정의3.2표준모형의 물질장

각 세대의 페르미온 양자수 ( $SU(3)_c, SU(2)_L, U(1)_Y$ ):

쿼크 (3 세대):

| 장 | $SU(3)_c$ | $SU(2)_L$ | $Y$ | |:---|:---:|:---:|:---:| | $Q_L = \begin{pmatrix}u\\d\end{pmatrix}_L$ | 3 | 2 | $+\frac{1}{6}$ | | $u_R$ | 3 | 1 | $+\frac{2}{3}$ | | $d_R$ | 3 | 1 | $-\frac{1}{3}$ |

렙톤 (3 세대):

| 장 | $SU(3)_c$ | $SU(2)_L$ | $Y$ | |:---|:---:|:---:|:---:| | $L_L = \begin{pmatrix}\nu\\e\end{pmatrix}_L$ | 1 | 2 | $-\frac{1}{2}$ | | $e_R$ | 1 | 1 | $-1$ |

힉스 보손:

| 장 | $SU(3)_c$ | $SU(2)_L$ | $Y$ | |:---|:---:|:---:|:---:| | $\Phi = \begin{pmatrix}\phi^+\\\phi^0\end{pmatrix}$ | 1 | 2 | $+\frac{1}{2}$ |

총 물질장: $3 \times (Q_L, u_R, d_R, L_L, e_R) + \Phi$ = 15개의 바일 페르미온(세대당 5개 $\times$ 3세대) + 1개의 힉스 이중항.

정의3.3표준모형 라그랑지안

표준모형의 완전한 라그랑지안:

\mathcal{L}_{\text{SM}} = \mathcal{L}_{\text{gauge}} + \mathcal{L}_{\text{fermion}} + \mathcal{L}_{\text{Higgs}} + \mathcal{L}_{\text{Yukawa}}

1. 게이지 운동 항:

\mathcal{L}_{\text{gauge}} = -\frac{1}{4}G_{\mu\nu}^aG^{a\mu\nu} - \frac{1}{4}W_{\mu\nu}^iW^{i\mu\nu} - \frac{1}{4}B_{\mu\nu}B^{\mu\nu}

2. 페르미온 운동 항:

\mathcal{L}_{\text{fermion}} = \sum_{\text{generations}}\left(\bar{Q}_L i\not\!D Q_L + \bar{u}_R i\not\!D u_R + \bar{d}_R i\not\!D d_R + \bar{L}_L i\not\!D L_L + \bar{e}_R i\not\!D e_R\right)

공변 도함수: $D_\mu = \partial_\mu - ig_s T^a G_\mu^a - ig\frac{\sigma^i}{2}W_\mu^i - ig'YB_\mu$

3. 힉스 항:

\mathcal{L}_{\text{Higgs}} = (D_\mu\Phi)^\dagger(D^\mu\Phi) - V(\Phi), \qquad V(\Phi) = \mu^2\Phi^\dagger\Phi + \lambda(\Phi^\dagger\Phi)^2

4. 유카와 항:

\mathcal{L}_{\text{Yukawa}} = -Y_u^{ij}\bar{Q}_L^i\tilde{\Phi}u_R^j - Y_d^{ij}\bar{Q}_L^i\Phi d_R^j - Y_e^{ij}\bar{L}_L^i\Phi e_R^j + \text{h.c.}

여기서 $\tilde{\Phi} = i\sigma^2\Phi^*$ 이고, $i, j$ 는 세대 지표이다.

정의3.4표준모형의 자유 매개변수

표준모형의 19개 자유 매개변수 (중성미자 질량 제외):

게이지 결합상수 (3개):

$g_s$ (또는 $\alpha_s$ ), $g$ (또는 $\alpha$ ), $g'$ (또는 $\sin^2\theta_W$ )

힉스 섹터 (2개):

$\mu^2$ (또는 $v$ ), $\lambda$ (또는 $m_h$ )

유카와 결합 — 페르미온 질량 (9개):

$m_u, m_c, m_t$ (업 타입 쿼크)
$m_d, m_s, m_b$ (다운 타입 쿼크)
$m_e, m_\mu, m_\tau$ (대전 렙톤)

CKM 행렬 (4개):

3개의 혼합각 $\theta_{12}, \theta_{23}, \theta_{13}$
1개의 $CP$ 위반 위상 $\delta$

QCD 진공 (1개):

$\theta_{\text{QCD}}$ ( $CP$ 위반 위상)

중성미자 진동을 포함하면 추가로 7개 이상의 매개변수(3 질량, 3 혼합각, 1-3 $CP$ 위상)가 필요하다.

정의3.5CKM 혼합 행렬

유카와 결합의 세대 간 혼합으로 인해, 질량 고유상태와 약한 상호작용 고유상태가 일치하지 않는다. CKM 행렬(Cabibbo-Kobayashi-Maskawa matrix):

\begin{pmatrix}d'\\s'\\b'\end{pmatrix} = V_{\text{CKM}}\begin{pmatrix}d\\s\\b\end{pmatrix}

V_{\text{CKM}} = \begin{pmatrix}V_{ud} & V_{us} & V_{ub}\\V_{cd} & V_{cs} & V_{cb}\\V_{td} & V_{ts} & V_{tb}\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}1-\lambda^2/2 & \lambda & A\lambda^3(\rho-i\eta)\\ -\lambda & 1-\lambda^2/2 & A\lambda^2\\ A\lambda^3(1-\rho-i\eta) & -A\lambda^2 & 1\end{pmatrix}

마지막은 볼펜슈타인 매개변수화(Wolfenstein parametrization)로, $\lambda \approx 0.225$ , $A \approx 0.81$ , $\rho \approx 0.16$ , $\eta \approx 0.35$ 이다.

$V_{\text{CKM}}$ 이 유니터리( $V^\dagger V = I$ )이므로 유니타리티 삼각형(unitarity triangle)이 정의된다:

V_{ud}V_{ub}^* + V_{cd}V_{cb}^* + V_{td}V_{tb}^* = 0

$\eta \neq 0$ 이면 $CP$ 대칭이 위반된다. 이것은 물질-반물질 비대칭의 필요 조건(사하로프 조건) 중 하나이다. 고바야시와 마스카와는 $CP$ 위반을 설명하기 위해 3세대 이상의 쿼크가 필요함을 보였다 (2008년 노벨 물리학상).

참고표준모형 너머의 물리

표준모형은 지금까지 모든 가속기 실험 결과를 성공적으로 설명하는 매우 정확한 이론이다. 그러나 다음 현상들은 표준모형으로 설명되지 않는다:

실험적 증거가 있는 문제:

중성미자 질량과 진동: 대기, 태양, 원자로 실험에서 확인. 표준모형 확장 필요
암흑물질: 우주 질량-에너지의 약 27%. 표준모형 입자 중 후보 없음
물질-반물질 비대칭: CKM $CP$ 위반만으로는 우주의 바리온 비대칭을 설명 불가
암흑에너지: 우주 가속 팽창. $\Lambda_{\text{obs}} \sim (10^{-3}\;\text{eV})^4 \ll \Lambda_{\text{QFT}}^4$

이론적 문제:

계층 문제: $m_h \sim 100\;\text{GeV} \ll M_P \sim 10^{19}\;\text{GeV}$ . 왜?
강한 $CP$ 문제: $\theta_{\text{QCD}} \lesssim 10^{-10}$ 의 미세 조정
맛 문제: 유카와 결합상수의 계층 구조에 대한 설명 부재
양자 중력: 표준모형은 중력을 포함하지 않음. 플랑크 스케일에서 새 물리 필요

표준모형 너머 이론들:

초대칭(SUSY): 각 입자에 초대칭 파트너. 계층 문제 해결, 게이지 결합 통일 개선
대통일 이론(GUT): $SU(5)$ , $SO(10)$ 등. 쿼크-렙톤 통일
여분 차원: 칼루차-클라인, 랜들-선드럼. 계층 문제의 기하학적 해결
끈 이론: 양자 중력을 포함하는 후보 이론. $d=10$ 또는 $d=11$

표준모형은 에너지 스케일 $E \lesssim 1\;\text{TeV}$ 에서의 유효장론으로 이해할 수 있으며, 더 높은 에너지에서 새로운 물리가 표준모형을 확장하거나 대체할 것으로 기대된다.

표준모형 라그랑지안 (Standard Model Lagrangian)

1. 표준모형의 게이지 구조

2. 물질 내용

3. 완전한 라그랑지안

4. 매개변수 세기

5. CKM 행렬과 $CP$ 위반

6. 표준모형의 성공과 한계