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물리학 강의 노트

개념완성

파동함수 (Wave Function)

1. 파동함수의 정의

양자역학에서 파동함수(wave function) Ψ(r,t)\Psi(\mathbf{r}, t)는 입자의 양자 상태를 완전히 기술하는 복소 함수이다.

정의1.1파동함수

1차원에서 입자의 파동함수 Ψ(x,t)\Psi(x, t)는 시공간 좌표의 복소값 함수로, 다음을 만족한다:

Ψ:R×R→C\Psi : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{C}

3차원으로 확장하면 Ψ(r,t)\Psi(\mathbf{r}, t)이며, r=(x,y,z)∈R3\mathbf{r} = (x, y, z) \in \mathbb{R}^3이다.

파동함수 자체는 직접적으로 측정 가능한 물리량이 아니다. 그 물리적 의미는 보른의 확률 해석을 통해 부여된다.

2. 파동함수의 수학적 성질

파동함수는 힐베르트 공간 H=L2(R3)\mathcal{H} = L^2(\mathbb{R}^3)의 원소이다. 즉, 제곱 적분 가능(square-integrable)해야 한다:

∫−∞∞∣Ψ(x,t)∣2 dx<∞\int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(x, t)|^2 \, dx < \infty

이 조건은 파동함수가 물리적으로 의미 있는 확률 해석을 가지기 위한 필수 조건이다.

참고파동함수의 연속성

물리적으로 허용되는 파동함수는 일반적으로 다음 조건을 만족해야 한다:

  • 연속성: Ψ(x,t)\Psi(x, t)는 연속이어야 한다.
  • 미분 가능성: ∂Ψ/∂x\partial \Psi / \partial x도 연속이어야 한다 (포텐셜이 무한대인 점 제외).
  • 유한성: 모든 점에서 ∣Ψ(x,t)∣<∞|\Psi(x,t)| < \infty이어야 한다.
  • 단일값: 각 시공간 점에서 하나의 값만 가져야 한다.

3. 파동함수의 시간 발전

파동함수의 시간 발전은 슈뢰딩거 방정식에 의해 결정된다:

iℏ∂∂tΨ(r,t)=H^Ψ(r,t)i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r}, t) = \hat{H} \Psi(\mathbf{r}, t)

여기서 H^\hat{H}는 해밀토니안 연산자이다. 1차원에서:

H^=−ℏ22m∂2∂x2+V(x,t)\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x, t)

파동함수를 알면, 시스템의 모든 측정 가능한 물리량의 기댓값을 계산할 수 있다.

4. 중첩 원리

정의1.2중첩 원리

슈뢰딩거 방정식은 선형 방정식이므로, Ψ1\Psi_1과 Ψ2\Psi_2가 해이면 이들의 선형 결합도 해이다:

Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2,c1,c2∈C\Psi = c_1 \Psi_1 + c_2 \Psi_2, \quad c_1, c_2 \in \mathbb{C}

더 일반적으로, 가산 무한개의 해가 있으면:

Ψ=∑n=1∞cnΨn\Psi = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \Psi_n

이 역시 해가 된다 (적절한 수렴 조건 하에서).

중첩 원리는 양자역학의 가장 근본적인 특성 중 하나이며, 고전역학과 구별되는 핵심적인 차이점이다.

5. 위치 공간과 운동량 공간 표현

파동함수는 위치 공간(position space) 또는 운동량 공간(momentum space)에서 표현할 수 있다. 두 표현은 푸리에 변환으로 연결된다:

Φ(p,t)=12πℏ∫−∞∞Ψ(x,t) e−ipx/ℏ dx\Phi(p, t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} \Psi(x, t) \, e^{-ipx/\hbar} \, dx Ψ(x,t)=12πℏ∫−∞∞Φ(p,t) eipx/ℏ dp\Psi(x, t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int_{-\infty}^{\infty} \Phi(p, t) \, e^{ipx/\hbar} \, dp

여기서 Φ(p,t)\Phi(p, t)는 운동량 공간 파동함수이며, ∣Φ(p,t)∣2|\Phi(p, t)|^2는 운동량 pp를 측정할 확률 밀도를 나타낸다.

예제가우시안 파동 패킷

초기 파동함수가 가우시안 형태인 경우:

Ψ(x,0)=(2aπ)1/4e−ax2\Psi(x, 0) = \left(\frac{2a}{\pi}\right)^{1/4} e^{-ax^2}

이 파동함수는 이미 규격화되어 있으며, 위치의 기댓값은 ⟨x⟩=0\langle x \rangle = 0, 위치의 불확정도는:

Δx=12a\Delta x = \frac{1}{2\sqrt{a}}

운동량 공간 표현은:

Φ(p,0)=(12πℏ2a)1/4e−p2/(4ℏ2a)\Phi(p, 0) = \left(\frac{1}{2\pi\hbar^2 a}\right)^{1/4} e^{-p^2/(4\hbar^2 a)}

이로부터 Δp=ℏa\Delta p = \hbar\sqrt{a}이며, 불확정성 관계 Δx⋅Δp=ℏ/2\Delta x \cdot \Delta p = \hbar/2를 등호로 만족한다. 즉, 가우시안 파동 패킷은 최소 불확정성 상태(minimum uncertainty state)이다.