규격화 (Normalization)
1. 규격화 조건
보른의 확률 해석이 성립하려면, 입자를 전체 공간 어딘가에서 발견할 확률이 1이어야 한다.
정의 1.5 규격화 조건
파동함수 Ψ ( x , t ) \Psi(x, t) Ψ ( x , t ) 규격화 조건 (normalization condition)은:
∫ − ∞ ∞ ∣ Ψ ( x , t ) ∣ 2 d x = 1 \int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(x, t)|^2 \, dx = 1 ∫ − ∞ ∞ ∣Ψ ( x , t ) ∣ 2 d x = 1 3차원에서는:
∫ all space ∣ Ψ ( r , t ) ∣ 2 d 3 r = 1 \int_{\text{all space}} |\Psi(\mathbf{r}, t)|^2 \, d^3r = 1 ∫ all space ∣Ψ ( r , t ) ∣ 2 d 3 r = 1 이 조건을 만족하는 파동함수를 규격화된 파동함수 (normalized wave function)라 한다.
2. 규격화 가능 조건
모든 파동함수가 규격화 가능한 것은 아니다. 규격화가 가능하려면 파동함수가 제곱 적분 가능 (square-integrable)해야 한다:
∫ − ∞ ∞ ∣ Ψ ( x , t ) ∣ 2 d x = N < ∞ , N > 0 \int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(x, t)|^2 \, dx = N < \infty, \quad N > 0 ∫ − ∞ ∞ ∣Ψ ( x , t ) ∣ 2 d x = N < ∞ , N > 0 이 경우, 규격화된 파동함수는:
Ψ norm = 1 N Ψ \Psi_{\text{norm}} = \frac{1}{\sqrt{N}} \Psi Ψ norm = N 1 Ψ 참고 규격화 불가능한 파동함수
평면파 Ψ = A e i ( k x − ω t ) \Psi = A e^{i(kx - \omega t)} Ψ = A e i ( k x − ω t ) ∣ Ψ ∣ 2 = ∣ A ∣ 2 |\Psi|^2 = |A|^2 ∣Ψ ∣ 2 = ∣ A ∣ 2 파동 패킷 (wave packet)으로 대체하거나, 디랙 델타 규격화 (Dirac delta normalization)를 사용한다:
∫ − ∞ ∞ Ψ k ∗ ( x ) Ψ k ′ ( x ) d x = δ ( k − k ′ ) \int_{-\infty}^{\infty} \Psi_k^*(x) \Psi_{k'}(x) \, dx = \delta(k - k') ∫ − ∞ ∞ Ψ k ∗ ( x ) Ψ k ′ ( x ) d x = δ ( k − k ′ ) 3. 규격화의 시간 보존
정의 1.6 규격화의 시간 불변성
슈뢰딩거 방정식을 따르는 파동함수에 대해, 규격화는 시간에 무관하다:
d d t ∫ − ∞ ∞ ∣ Ψ ( x , t ) ∣ 2 d x = 0 \frac{d}{dt} \int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(x, t)|^2 \, dx = 0 d t d ∫ − ∞ ∞ ∣Ψ ( x , t ) ∣ 2 d x = 0 따라서 t = 0 t = 0 t = 0 t t t
이를 증명하기 위해, 슈뢰딩거 방정식과 그 켤레를 이용한다:
∂ ∣ Ψ ∣ 2 ∂ t = Ψ ∗ ∂ Ψ ∂ t + Ψ ∂ Ψ ∗ ∂ t = i ℏ 2 m ∂ ∂ x ( Ψ ∗ ∂ Ψ ∂ x − Ψ ∂ Ψ ∗ ∂ x ) \frac{\partial |\Psi|^2}{\partial t} = \Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial t} + \Psi \frac{\partial \Psi^*}{\partial t} = \frac{i\hbar}{2m} \frac{\partial}{\partial x}\left(\Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial x} - \Psi \frac{\partial \Psi^*}{\partial x}\right) ∂ t ∂ ∣Ψ ∣ 2 = Ψ ∗ ∂ t ∂ Ψ + Ψ ∂ t ∂ Ψ ∗ = 2 m i ℏ ∂ x ∂ ( Ψ ∗ ∂ x ∂ Ψ − Ψ ∂ x ∂ Ψ ∗ ) 전체 공간에서 적분하면, 경계 조건 Ψ → 0 \Psi \to 0 Ψ → 0 x → ± ∞ x \to \pm\infty x → ± ∞
4. 박스 규격화와 주기적 경계 조건
실용적 계산에서 무한 공간 대신 유한한 박스 (box) [ 0 , L ] [0, L] [ 0 , L ]
∫ 0 L ∣ Ψ ( x ) ∣ 2 d x = 1 \int_0^L |\Psi(x)|^2 \, dx = 1 ∫ 0 L ∣Ψ ( x ) ∣ 2 d x = 1 주기적 경계 조건(periodic boundary condition) Ψ ( 0 ) = Ψ ( L ) \Psi(0) = \Psi(L) Ψ ( 0 ) = Ψ ( L )
k n = 2 π n L , n = 0 , ± 1 , ± 2 , … k_n = \frac{2\pi n}{L}, \quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots k n = L 2 πn , n = 0 , ± 1 , ± 2 , … 열역학적 극한(L → ∞ L \to \infty L → ∞
1 L ∑ n → 1 2 π ∫ d k \frac{1}{L} \sum_n \to \frac{1}{2\pi} \int dk L 1 n ∑ → 2 π 1 ∫ d k 5. 운동량 공간에서의 규격화
파셰발 정리(Parseval's theorem)에 의해, 위치 공간에서 규격화된 파동함수는 운동량 공간에서도 자동으로 규격화된다:
∫ − ∞ ∞ ∣ Ψ ( x , t ) ∣ 2 d x = ∫ − ∞ ∞ ∣ Φ ( p , t ) ∣ 2 d p = 1 \int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(x, t)|^2 \, dx = \int_{-\infty}^{\infty} |\Phi(p, t)|^2 \, dp = 1 ∫ − ∞ ∞ ∣Ψ ( x , t ) ∣ 2 d x = ∫ − ∞ ∞ ∣Φ ( p , t ) ∣ 2 d p = 1 이는 푸리에 변환이 유니터리 변환 (unitary transformation)이기 때문이며, 위치 표현과 운동량 표현이 물리적으로 동등함을 보장한다.