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물리학 강의 노트

유도완성

불확정성 원리 유도 (Uncertainty Principle Derivation)

1. 유도 전략

위치-운동량 불확정성 원리 Δx⋅Δp≥ℏ/2\Delta x \cdot \Delta p \geq \hbar/2를 슈바르츠 부등식(Schwarz inequality)과 정준 교환 관계(canonical commutation relation)로부터 유도한다.

유도하이젠베르크 불확정성 원리 유도

Step 1: 편차 연산자 정의

편차 연산자를 다음과 같이 정의한다:

f^=x^−⟨x⟩,g^=p^−⟨p⟩\hat{f} = \hat{x} - \langle x \rangle, \quad \hat{g} = \hat{p} - \langle p \rangle

그러면 분산은:

(Δx)2=⟨f^2⟩=⟨f∣f⟩,(Δp)2=⟨g^2⟩=⟨g∣g⟩(\Delta x)^2 = \langle \hat{f}^2 \rangle = \langle f | f \rangle, \quad (\Delta p)^2 = \langle \hat{g}^2 \rangle = \langle g | g \rangle

여기서 ∣f⟩=f^∣Ψ⟩|f\rangle = \hat{f}|\Psi\rangle, ∣g⟩=g^∣Ψ⟩|g\rangle = \hat{g}|\Psi\rangle이다.

Step 2: 슈바르츠 부등식 적용

힐베르트 공간에서 슈바르츠 부등식은:

⟨f∣f⟩⟨g∣g⟩≥∣⟨f∣g⟩∣2\langle f | f \rangle \langle g | g \rangle \geq |\langle f | g \rangle|^2

따라서:

(Δx)2(Δp)2≥∣⟨f∣g⟩∣2=∣⟨f^g^⟩∣2(\Delta x)^2 (\Delta p)^2 \geq |\langle f | g \rangle|^2 = |\langle \hat{f}\hat{g} \rangle|^2

Step 3: 복소수 분해

⟨f^g^⟩\langle \hat{f}\hat{g} \rangle를 실수부와 허수부로 분해한다. f^g^\hat{f}\hat{g}를 대칭 부분과 반대칭 부분으로 나누면:

f^g^=12{f^,g^}+12[f^,g^]\hat{f}\hat{g} = \frac{1}{2}\{\hat{f}, \hat{g}\} + \frac{1}{2}[\hat{f}, \hat{g}]

여기서 {f^,g^}=f^g^+g^f^\{\hat{f}, \hat{g}\} = \hat{f}\hat{g} + \hat{g}\hat{f}는 반교환자(anticommutator), [f^,g^]=f^g^−g^f^[\hat{f}, \hat{g}] = \hat{f}\hat{g} - \hat{g}\hat{f}는 교환자(commutator)이다.

f^\hat{f}와 g^\hat{g}가 에르미트 연산자이므로:

  • ⟨{f^,g^}⟩\langle \{\hat{f}, \hat{g}\} \rangle는 실수
  • ⟨[f^,g^]⟩\langle [\hat{f}, \hat{g}] \rangle는 순허수

따라서:

∣⟨f^g^⟩∣2=14∣⟨{f^,g^}⟩∣2+14∣⟨[f^,g^]⟩∣2|\langle \hat{f}\hat{g} \rangle|^2 = \frac{1}{4}|\langle \{\hat{f}, \hat{g}\} \rangle|^2 + \frac{1}{4}|\langle [\hat{f}, \hat{g}] \rangle|^2

Step 4: 교환 관계 대입

f^\hat{f}와 g^\hat{g}의 교환 관계는 x^\hat{x}, p^\hat{p}의 교환 관계와 동일하다:

[f^,g^]=[x^−⟨x⟩,p^−⟨p⟩]=[x^,p^]=iℏ[\hat{f}, \hat{g}] = [\hat{x} - \langle x \rangle, \hat{p} - \langle p \rangle] = [\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar

따라서:

(Δx)2(Δp)2≥14∣⟨{f^,g^}⟩∣2+14∣iℏ∣2≥ℏ24(\Delta x)^2 (\Delta p)^2 \geq \frac{1}{4}|\langle \{\hat{f}, \hat{g}\} \rangle|^2 + \frac{1}{4}|i\hbar|^2 \geq \frac{\hbar^2}{4}

Step 5: 최종 결과

양변에 제곱근을 취하면:

Δx⋅Δp≥ℏ2\boxed{\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}}
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2. 등호 조건 분석

등호가 성립하려면 두 가지 조건이 동시에 만족되어야 한다:

조건 1: 슈바르츠 부등식의 등호 조건 ∣g⟩=c∣f⟩|g\rangle = c|f\rangle (어떤 복소수 cc에 대해)

(p^−⟨p⟩)Ψ=c(x^−⟨x⟩)Ψ(\hat{p} - \langle p \rangle)\Psi = c(\hat{x} - \langle x \rangle)\Psi

조건 2: 반교환자 기댓값이 0

⟨{f^,g^}⟩=0\langle \{\hat{f}, \hat{g}\} \rangle = 0

조건 2에서 cc는 순허수여야 한다. c=−iβc = -i\beta (β>0\beta > 0)로 놓으면:

−iℏdΨdx−⟨p⟩Ψ=−iβ(x−⟨x⟩)Ψ-i\hbar \frac{d\Psi}{dx} - \langle p \rangle \Psi = -i\beta(x - \langle x \rangle)\Psi

이를 풀면:

Ψ(x)=Aexp⁡[−β2ℏ(x−⟨x⟩)2+i⟨p⟩xℏ]\Psi(x) = A \exp\left[-\frac{\beta}{2\hbar}(x - \langle x \rangle)^2 + \frac{i\langle p \rangle x}{\hbar}\right]

이는 가우시안 파동 패킷이며, Δx=ℏ/(2β)\Delta x = \sqrt{\hbar/(2\beta)}, Δp=ℏβ/2\Delta p = \sqrt{\hbar\beta/2}이다.

3. 푸리에 해석을 통한 대안적 유도

유도푸리에 변환을 이용한 불확정성 원리 유도

위치 공간과 운동량 공간의 파동함수는 푸리에 변환 쌍이다. 신호 처리 이론에서 알려진 결과에 의하면, 함수와 그 푸리에 변환의 "폭"의 곱에는 하한이 존재한다.

f(x)f(x)와 그 푸리에 변환 f~(k)\tilde{f}(k)에 대해:

Δx⋅Δk≥12\Delta x \cdot \Delta k \geq \frac{1}{2}

p=ℏkp = \hbar k이므로 Δp=ℏΔk\Delta p = \hbar \Delta k를 대입하면:

Δx⋅Δp≥ℏ2\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}

이 유도는 불확정성 원리가 파동의 일반적 성질에서 비롯됨을 보여준다. 양자역학 고유의 원리라기보다, 파동-입자 이중성의 필연적 결과이다.

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4. 수치 예제

예제전자의 원자 내 불확정성

수소 원자의 크기가 약 a0≈0.529×10−10a_0 \approx 0.529 \times 10^{-10} m이므로, 전자의 위치 불확정도는 대략:

Δx∼a0≈5.3×10−11 m\Delta x \sim a_0 \approx 5.3 \times 10^{-11} \text{ m}

불확정성 원리로부터 운동량의 최소 불확정도:

Δp≥ℏ2Δx=1.055×10−342×5.3×10−11≈1.0×10−24 kg⋅m/s\Delta p \geq \frac{\hbar}{2\Delta x} = \frac{1.055 \times 10^{-34}}{2 \times 5.3 \times 10^{-11}} \approx 1.0 \times 10^{-24} \text{ kg}\cdot\text{m/s}

이에 대응하는 최소 운동 에너지:

Emin⁡∼(Δp)22me=(1.0×10−24)22×9.1×10−31≈0.5×10−18 J≈3.4 eVE_{\min} \sim \frac{(\Delta p)^2}{2m_e} = \frac{(1.0 \times 10^{-24})^2}{2 \times 9.1 \times 10^{-31}} \approx 0.5 \times 10^{-18} \text{ J} \approx 3.4 \text{ eV}

이는 수소 원자 기저 상태 에너지 13.613.6 eV의 크기 정도와 일치한다.