시간 비의존 슈뢰딩거 방정식 (Time-Independent Schrödinger Equation)

1. 변수 분리

포텐셜이 시간에 의존하지 않는 경우 $V(\mathbf{r}, t) = V(\mathbf{r})$ , 슈뢰딩거 방정식을 변수 분리법(separation of variables)으로 풀 수 있다.

정의2.1정상 상태 파동함수

시간 비의존 포텐셜에서 파동함수를 다음과 같이 분리한다:

\Psi(x, t) = \psi(x) \, \phi(t)

이를 슈뢰딩거 방정식에 대입하면, 시간 부분과 공간 부분이 분리된다:

i\hbar \frac{1}{\phi}\frac{d\phi}{dt} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{\psi}\frac{d^2\psi}{dx^2} + V(x) = E

여기서 $E$ 는 분리 상수로, 에너지에 대응한다.

공간 부분의 방정식은 시간 비의존 슈뢰딩거 방정식(TISE)이다:

-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} + V(x)\psi(x) = E\psi(x)

이를 연산자 형태로 쓰면:

\hat{H}\psi = E\psi

이것은 해밀토니안 $\hat{H}$ 의 고유값 방정식(eigenvalue equation)이다. $\psi$ 는 고유함수, $E$ 는 고유값이다.

시간 부분의 해는:

\phi(t) = e^{-iEt/\hbar}

따라서 전체 파동함수는:

\Psi(x, t) = \psi(x) e^{-iEt/\hbar}

정의2.2정상 상태

$\Psi(x, t) = \psi(x) e^{-iEt/\hbar}$ 형태의 해를 정상 상태(stationary state)라 한다. 정상 상태는 다음 성질을 갖는다:

참고정상 상태와 에너지 고유상태

정상 상태는 에너지 고유상태(energy eigenstate)와 동일하다. 에너지 측정 시 항상 값 $E$ 를 얻으며, 불확정도가 없다. 그러나 위치나 운동량 같은 다른 관측량은 여전히 불확정할 수 있다.

시간 비의존 슈뢰딩거 방정식의 고유함수 $\{\psi_n\}$ 과 고유값 $\{E_n\}$ 을 알면, 시간 의존 슈뢰딩거 방정식의 일반해는:

\Psi(x, t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \psi_n(x) e^{-iE_n t/\hbar}

여기서 계수 $c_n$ 은 초기 조건 $\Psi(x, 0)$ 으로 결정된다:

c_n = \int_{-\infty}^{\infty} \psi_n^*(x) \Psi(x, 0) \, dx

규격화 조건은 $\sum_n |c_n|^2 = 1$ 이며, $|c_n|^2$ 는 에너지 측정 시 $E_n$ 을 얻을 확률이다.

예제경계 조건에 의한 에너지 양자화

시간 비의존 슈뢰딩거 방정식의 해가 물리적으로 허용되려면 적절한 경계 조건(boundary conditions)을 만족해야 한다:

속박 상태 ( $E < V(\pm\infty)$ ): $\psi(x) \to 0$ as $x \to \pm\infty$ . 이 조건에 의해 에너지가 이산적 값만 허용된다 (에너지 양자화).
산란 상태 ( $E > V(\pm\infty)$ ): $\psi(x)$ 는 진동하며 규격화 불가. 에너지는 연속적 스펙트럼을 가진다.

에너지 양자화는 수학적으로 슈투름-리우빌 이론(Sturm-Liouville theory)의 결과이며, 경계 조건이 고유값을 이산화시키는 것이다.