무한 사각 우물 (Infinite Square Well)

1. 포텐셜 설정

무한 사각 우물(또는 무한 퍼텐셜 우물)은 양자역학에서 가장 기본적인 정확히 풀리는 모형이다.

정의2.3무한 사각 우물 포텐셜

1차원 무한 사각 우물의 포텐셜은:

V(x) = \begin{cases} 0 & 0 < x < a \\ \infty & \text{otherwise} \end{cases}

입자는 $0 < x < a$ 영역에 완전히 가두어져 있으며, 벽 밖에서는 $\psi(x) = 0$ 이다.

우물 내부 ( $0 < x < a$ )에서 $V = 0$ 이므로:

-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} = E\psi

$k^2 = 2mE/\hbar^2$ 로 정의하면:

\frac{d^2\psi}{dx^2} = -k^2\psi

일반해는 $\psi(x) = A\sin(kx) + B\cos(kx)$ 이다.

경계 조건 $\psi(0) = 0$ 에서 $B = 0$ . $\psi(a) = 0$ 에서 $\sin(ka) = 0$ , 즉:

k_n = \frac{n\pi}{a}, \quad n = 1, 2, 3, \ldots

정의2.4무한 사각 우물의 에너지 준위

에너지 고유값:

E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2ma^2}, \quad n = 1, 2, 3, \ldots

규격화된 고유함수:

\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right)

주요 특성:

기저 상태 에너지 ( $n = 1$ ): $E_1 = \pi^2\hbar^2 / (2ma^2) > 0$ (영점 에너지, zero-point energy)
에너지 간격: $E_n = n^2 E_1$ 로, 에너지 준위 사이의 간격이 $n$ 이 커질수록 증가한다.
고전적 극한: $n \to \infty$ 이면, 확률 밀도가 고전적 균일 분포 $1/a$ 에 접근한다 (대응 원리).

참고직교 규격 관계

고유함수들은 직교 규격(orthonormal) 조건을 만족한다:

\int_0^a \psi_m^*(x) \psi_n(x) \, dx = \delta_{mn}

여기서 $\delta_{mn}$ 은 크로네커 델타이다. 또한, 고유함수의 집합 $\{\psi_n\}$ 은 구간 $[0, a]$ 에서 완전계(complete set)를 이루므로, 임의의 함수를 이들의 선형 결합으로 전개할 수 있다:

f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \psi_n(x), \quad c_n = \int_0^a \psi_n^*(x) f(x) \, dx

이는 구간 $[0, a]$ 에서의 푸리에 사인 급수(Fourier sine series)와 동일하다.

예제무한 사각 우물에서의 시간 발전

초기 상태가 기저 상태와 제1 여기 상태의 중첩인 경우:

\Psi(x, 0) = \frac{1}{\sqrt{2}}[\psi_1(x) + \psi_2(x)]

시간 발전은:

\Psi(x, t) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\psi_1(x)e^{-iE_1 t/\hbar} + \psi_2(x)e^{-iE_2 t/\hbar}\right]

위치의 기댓값은:

\langle x \rangle(t) = \frac{a}{2} - \frac{16a}{9\pi^2}\cos(\omega_{21}t)

여기서 $\omega_{21} = (E_2 - E_1)/\hbar = 3\pi^2\hbar/(2ma^2)$ 이다.

이는 우물 중심 $a/2$ 주위를 진동수 $\omega_{21}$ 로 진동하는 운동을 보여준다.

우물을 $[-a/2, a/2]$ 로 대칭적으로 배치하면, 고유함수는 확정된 패리티(parity)를 갖는다:

\psi_n(x) = \begin{cases} \sqrt{\frac{2}{a}} \cos\left(\frac{n\pi x}{a}\right) & n = 1, 3, 5, \ldots \text{ (짝수 패리티)} \\ \sqrt{\frac{2}{a}} \sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right) & n = 2, 4, 6, \ldots \text{ (홀수 패리티)} \end{cases}

대칭 포텐셜에서 에너지 고유함수가 확정된 패리티를 가지는 것은 일반적인 정리이다.