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물리학 강의 노트

개념완성

양자 조화진동자 (Quantum Harmonic Oscillator)

1. 조화진동자 포텐셜

조화진동자는 양자역학에서 가장 중요한 모형 중 하나이다. 임의의 안정 평형점 근처의 포텐셜을 테일러 전개하면, 최저차 항이 조화진동자 포텐셜이 되기 때문이다.

정의2.5양자 조화진동자

1차원 조화진동자의 포텐셜은:

V(x)=12mω2x2V(x) = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2

시간 비의존 슈뢰딩거 방정식:

−ℏ22md2ψdx2+12mω2x2ψ=Eψ-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} + \frac{1}{2}m\omega^2 x^2 \psi = E\psi

2. 사다리 연산자 방법 (대수적 방법)

디랙이 도입한 사다리 연산자(ladder operator) 방법은 미분 방정식을 직접 풀지 않고도 에너지 스펙트럼과 고유함수를 구할 수 있는 우아한 방법이다.

정의2.6사다리 연산자

올림 연산자(raising operator)와 내림 연산자(lowering operator)를 정의한다:

a^+=12ℏmω(−ip^+mωx^),a^−=12ℏmω(ip^+mωx^)\hat{a}_+ = \frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}}(-i\hat{p} + m\omega\hat{x}), \quad \hat{a}_- = \frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}}(i\hat{p} + m\omega\hat{x})

이들의 교환 관계:

[a^−,a^+]=1[\hat{a}_-, \hat{a}_+] = 1

해밀토니안은 사다리 연산자로 표현하면:

H^=ℏω(a^+a^−+12)=ℏω(N^+12)\hat{H} = \hbar\omega\left(\hat{a}_+\hat{a}_- + \frac{1}{2}\right) = \hbar\omega\left(\hat{N} + \frac{1}{2}\right)

여기서 N^=a^+a^−\hat{N} = \hat{a}_+\hat{a}_-는 수 연산자(number operator)이다.

3. 에너지 스펙트럼

사다리 연산자의 성질로부터 에너지 고유값을 구한다:

  • a^+∣ψn⟩\hat{a}_+|\psi_n\rangle은 에너지 En+ℏωE_n + \hbar\omega의 고유상태이다.
  • a^−∣ψn⟩\hat{a}_-|\psi_n\rangle은 에너지 En−ℏωE_n - \hbar\omega의 고유상태이다.
  • 에너지는 하한을 가져야 하므로, 기저 상태 ∣ψ0⟩|\psi_0\rangle에 대해 a^−∣ψ0⟩=0\hat{a}_-|\psi_0\rangle = 0이어야 한다.
En=ℏω(n+12),n=0,1,2,…E_n = \hbar\omega\left(n + \frac{1}{2}\right), \quad n = 0, 1, 2, \ldots
참고영점 에너지

기저 상태 에너지 E0=ℏω/2>0E_0 = \hbar\omega/2 > 0을 영점 에너지(zero-point energy)라 한다. 이는 불확정성 원리의 직접적 귀결이다. 입자가 정확히 평형점에 정지해 있으면 Δx=0\Delta x = 0, Δp=0\Delta p = 0이 되어 불확정성 원리에 위배되기 때문이다.

4. 고유함수

기저 상태 파동함수는 a^−ψ0=0\hat{a}_-\psi_0 = 0을 풀어 구한다:

ψ0(x)=(mωπℏ)1/4exp⁡(−mω2ℏx2)\psi_0(x) = \left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4} \exp\left(-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2\right)

nn번째 여기 상태는 올림 연산자를 반복 적용하여 얻는다:

ψn(x)=1n!(a^+)nψ0(x)=(mωπℏ)1/412nn!Hn(ξ)e−ξ2/2\psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{n!}}(\hat{a}_+)^n \psi_0(x) = \left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4} \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} H_n(\xi) e^{-\xi^2/2}

여기서 ξ=mω/ℏ x\xi = \sqrt{m\omega/\hbar}\,x이고, Hn(ξ)H_n(\xi)는 에르미트 다항식(Hermite polynomial)이다:

H0=1,H1=2ξ,H2=4ξ2−2,H3=8ξ3−12ξ,…H_0 = 1, \quad H_1 = 2\xi, \quad H_2 = 4\xi^2 - 2, \quad H_3 = 8\xi^3 - 12\xi, \quad \ldots

5. 행렬 원소와 선택 규칙

정의2.7사다리 연산자의 행렬 원소
a^+∣n⟩=n+1 ∣n+1⟩,a^−∣n⟩=n ∣n−1⟩\hat{a}_+|n\rangle = \sqrt{n+1}\,|n+1\rangle, \quad \hat{a}_-|n\rangle = \sqrt{n}\,|n-1\rangle

위치와 운동량 연산자의 행렬 원소:

⟨m∣x^∣n⟩=ℏ2mω(n δm,n−1+n+1 δm,n+1)\langle m|\hat{x}|n\rangle = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\left(\sqrt{n}\,\delta_{m,n-1} + \sqrt{n+1}\,\delta_{m,n+1}\right)⟨m∣p^∣n⟩=imωℏ2(n+1 δm,n+1−n δm,n−1)\langle m|\hat{p}|n\rangle = i\sqrt{\frac{m\omega\hbar}{2}}\left(\sqrt{n+1}\,\delta_{m,n+1} - \sqrt{n}\,\delta_{m,n-1}\right)

이로부터 선택 규칙(selection rule) Δn=±1\Delta n = \pm 1이 도출된다. 즉, 위치 연산자에 의한 전이는 인접한 준위 사이에서만 일어난다.

예제조화진동자의 비리알 정리

조화진동자의 에너지 고유상태 ∣n⟩|n\rangle에서:

⟨T⟩=⟨V⟩=12En=ℏω4(2n+1)\langle T \rangle = \langle V \rangle = \frac{1}{2}E_n = \frac{\hbar\omega}{4}(2n+1)

이는 고전 조화진동자에서의 비리알 정리 ⟨T⟩=⟨V⟩\langle T \rangle = \langle V \rangle의 양자역학적 대응이다. 기저 상태에서도 ⟨T⟩=⟨V⟩=ℏω/4\langle T \rangle = \langle V \rangle = \hbar\omega/4이다.