⚛

물리학 강의 노트

개념완성

자유 입자 (Free Particle)

1. 자유 입자의 슈뢰딩거 방정식

정의2.8자유 입자

포텐셜이 없는 경우 (V(x)=0V(x) = 0), 시간 비의존 슈뢰딩거 방정식은:

−ℏ22md2ψdx2=Eψ-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} = E\psi

k=2mE/ℏk = \sqrt{2mE}/\hbar로 정의하면, 일반해는:

ψk(x)=Aeikx+Be−ikx\psi_k(x) = Ae^{ikx} + Be^{-ikx}

에너지-파수 관계 (분산 관계):

E=ℏ2k22mE = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}

자유 입자의 경우, 경계 조건에 의한 제약이 없으므로 kk는 임의의 양의 실수 값을 가질 수 있다. 에너지 스펙트럼은 연속적이다.

2. 평면파와 규격화 문제

전파하는 파동 ψk(x)=Aeikx\psi_k(x) = Ae^{ikx}는 전체 공간에서 제곱 적분이 발산하므로 규격화할 수 없다:

∫−∞∞∣Aeikx∣2dx=∣A∣2⋅∞\int_{-\infty}^{\infty}|Ae^{ikx}|^2 dx = |A|^2 \cdot \infty

따라서 자유 입자의 평면파는 엄밀한 의미의 물리적 상태가 아니다. 이 문제를 해결하는 방법:

  1. 디랙 델타 규격화: ⟨k∣k′⟩=δ(k−k′)\langle k | k' \rangle = \delta(k - k')
  2. 박스 규격화: 유한 구간 [0,L][0, L]에 가두고 L→∞L \to \infty 극한
  3. 파동 패킷 구성: 물리적 상태는 평면파의 중첩

3. 파동 패킷

정의2.9파동 패킷

물리적으로 의미 있는 자유 입자의 상태는 파동 패킷(wave packet)으로 기술된다:

Ψ(x,t)=12π∫−∞∞ϕ(k) ei(kx−ω(k)t) dk\Psi(x, t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \phi(k) \, e^{i(kx - \omega(k)t)} \, dk

여기서 ω(k)=ℏk2/(2m)\omega(k) = \hbar k^2 / (2m)이고, ϕ(k)\phi(k)는 초기 조건에 의해 결정되는 진폭 함수이다:

ϕ(k)=12π∫−∞∞Ψ(x,0) e−ikx dx\phi(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \Psi(x, 0) \, e^{-ikx} \, dx

4. 군속도와 위상속도

참고분산 관계와 속도

자유 입자의 분산 관계 ω=ℏk2/(2m)\omega = \hbar k^2 / (2m)로부터:

위상속도(phase velocity):

vp=ωk=ℏk2m=p2mv_p = \frac{\omega}{k} = \frac{\hbar k}{2m} = \frac{p}{2m}

군속도(group velocity):

vg=dωdk=ℏkm=pmv_g = \frac{d\omega}{dk} = \frac{\hbar k}{m} = \frac{p}{m}

군속도 vg=p/mv_g = p/m은 고전 입자의 속도와 일치한다. 반면 위상속도는 군속도의 절반이다. 파동 패킷의 포락선(envelope)은 군속도로 이동하므로, 입자의 운동은 군속도에 의해 기술된다.

5. 가우시안 파동 패킷의 시간 발전

예제가우시안 파동 패킷의 퍼짐

초기 가우시안 파동 패킷:

Ψ(x,0)=(2aπ)1/4e−ax2+ik0x\Psi(x, 0) = \left(\frac{2a}{\pi}\right)^{1/4} e^{-ax^2 + ik_0 x}

시간 발전 후:

Ψ(x,t)=(2aπ)1/411+2iℏat/mexp⁡[−a(x−vgt)21+2iℏat/m+i(k0x−ℏk022mt)]\Psi(x, t) = \left(\frac{2a}{\pi}\right)^{1/4} \frac{1}{\sqrt{1 + 2i\hbar at/m}} \exp\left[-\frac{a(x - v_g t)^2}{1 + 2i\hbar at/m} + i\left(k_0 x - \frac{\hbar k_0^2}{2m}t\right)\right]

확률 밀도의 폭:

Δx(t)=12a1+(2ℏatm)2\Delta x(t) = \frac{1}{2\sqrt{a}}\sqrt{1 + \left(\frac{2\hbar a t}{m}\right)^2}
  • 파동 패킷은 군속도 vg=ℏk0/mv_g = \hbar k_0 / m으로 이동한다.
  • 폭은 시간에 따라 증가한다 (파동 패킷의 퍼짐, wave packet spreading).
  • 퍼짐 시간 척도: τ=m/(2ℏa)=2m(Δx0)2/ℏ\tau = m / (2\hbar a) = 2m(\Delta x_0)^2 / \hbar

전자 (m≈10−30m \approx 10^{-30} kg)가 Δx0=10−10\Delta x_0 = 10^{-10} m인 경우, τ∼10−16\tau \sim 10^{-16} s로 매우 빠르게 퍼진다. 반면 거시적 물체 (m=1m = 1 kg, Δx0=10−3\Delta x_0 = 10^{-3} m)의 경우 τ∼1025\tau \sim 10^{25} s로 사실상 퍼지지 않는다.

6. 자유 입자의 전파자

자유 입자의 전파자(propagator)는 그린 함수로서, 임의의 초기 상태의 시간 발전을 기술한다:

K(x,t;x′,0)=m2πiℏtexp⁡[im(x−x′)22ℏt]K(x, t; x', 0) = \sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar t}} \exp\left[\frac{im(x - x')^2}{2\hbar t}\right]

이를 이용하면:

Ψ(x,t)=∫−∞∞K(x,t;x′,0) Ψ(x′,0) dx′\Psi(x, t) = \int_{-\infty}^{\infty} K(x, t; x', 0) \, \Psi(x', 0) \, dx'

이 전파자는 파인만의 경로 적분(path integral) 형식론의 출발점이 된다.