⚛

물리학 강의 노트

유도완성

조화진동자 에너지 준위 유도 (Harmonic Oscillator Energy Levels Derivation)

1. 대수적 유도 (사다리 연산자 방법)

유도사다리 연산자에 의한 에너지 준위 유도

Step 1: 해밀토니안의 인수분해

조화진동자 해밀토니안:

H^=p^22m+12mω2x^2\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2 \hat{x}^2

사다리 연산자를 도입한다:

a^±=12ℏmω(∓ip^+mωx^)\hat{a}_{\pm} = \frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}}(\mp i\hat{p} + m\omega\hat{x})

[x^,p^]=iℏ[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar로부터:

a^−a^+=12ℏmω(p^2+m2ω2x^2+imω[x^,p^])=H^ℏω+12\hat{a}_-\hat{a}_+ = \frac{1}{2\hbar m\omega}(\hat{p}^2 + m^2\omega^2\hat{x}^2 + im\omega[\hat{x}, \hat{p}]) = \frac{\hat{H}}{\hbar\omega} + \frac{1}{2}a^+a^−=H^ℏω−12\hat{a}_+\hat{a}_- = \frac{\hat{H}}{\hbar\omega} - \frac{1}{2}

따라서:

H^=ℏω(a^+a^−+12),[a^−,a^+]=1\hat{H} = \hbar\omega\left(\hat{a}_+\hat{a}_- + \frac{1}{2}\right), \quad [\hat{a}_-, \hat{a}_+] = 1

Step 2: 에너지 하한 존재 증명

N^=a^+a^−\hat{N} = \hat{a}_+\hat{a}_-의 기댓값은:

⟨N^⟩=⟨Ψ∣a^+a^−∣Ψ⟩=∥a^−∣Ψ⟩∥2≥0\langle \hat{N} \rangle = \langle \Psi | \hat{a}_+\hat{a}_- | \Psi \rangle = \|\hat{a}_-|\Psi\rangle\|^2 \geq 0

따라서 E=ℏω(⟨N^⟩+1/2)≥ℏω/2E = \hbar\omega(\langle \hat{N} \rangle + 1/2) \geq \hbar\omega/2이다.

Step 3: 사다리 연산자의 작용

H^∣ψ⟩=E∣ψ⟩\hat{H}|\psi\rangle = E|\psi\rangle이면:

H^(a^+∣ψ⟩)=(a^+H^+[H^,a^+])∣ψ⟩\hat{H}(\hat{a}_+|\psi\rangle) = (\hat{a}_+\hat{H} + [\hat{H}, \hat{a}_+])|\psi\rangle

교환자를 계산하면:

[H^,a^+]=ℏωa^+,[H^,a^−]=−ℏωa^−[\hat{H}, \hat{a}_+] = \hbar\omega\hat{a}_+, \quad [\hat{H}, \hat{a}_-] = -\hbar\omega\hat{a}_-

따라서:

H^(a^+∣ψ⟩)=(E+ℏω)(a^+∣ψ⟩)\hat{H}(\hat{a}_+|\psi\rangle) = (E + \hbar\omega)(\hat{a}_+|\psi\rangle)H^(a^−∣ψ⟩)=(E−ℏω)(a^−∣ψ⟩)\hat{H}(\hat{a}_-|\psi\rangle) = (E - \hbar\omega)(\hat{a}_-|\psi\rangle)

Step 4: 기저 상태 결정

a^−\hat{a}_-를 반복 적용하면 에너지가 ℏω\hbar\omega씩 감소한다. 에너지 하한이 존재하므로, 어떤 상태 ∣0⟩|0\rangle에서 사다리가 끝나야 한다:

a^−∣0⟩=0\hat{a}_-|0\rangle = 0

이 조건에서:

H^∣0⟩=ℏω(a^+a^−+12)∣0⟩=ℏω2∣0⟩\hat{H}|0\rangle = \hbar\omega\left(\hat{a}_+\hat{a}_- + \frac{1}{2}\right)|0\rangle = \frac{\hbar\omega}{2}|0\rangle

따라서 E0=ℏω/2E_0 = \hbar\omega/2이다.

Step 5: 전체 스펙트럼

∣n⟩=(a^+)n∣0⟩/n!|n\rangle = (\hat{a}_+)^n|0\rangle / \sqrt{n!}에 대해:

En=ℏω(n+12),n=0,1,2,…\boxed{E_n = \hbar\omega\left(n + \frac{1}{2}\right), \quad n = 0, 1, 2, \ldots}
■

2. 해석적 유도 (급수해 방법)

유도급수해에 의한 에너지 준위 유도

Step 1: 무차원 변수 도입

ξ=mω/ℏ x\xi = \sqrt{m\omega/\hbar}\,x, K=2E/(ℏω)K = 2E/(\hbar\omega)로 정의하면:

d2ψdξ2=(ξ2−K)ψ\frac{d^2\psi}{d\xi^2} = (\xi^2 - K)\psi

Step 2: 점근 해석

ξ→∞\xi \to \infty에서 ψ∼e−ξ2/2\psi \sim e^{-\xi^2/2} (물리적 해). ψ(ξ)=h(ξ)e−ξ2/2\psi(\xi) = h(\xi)e^{-\xi^2/2}로 놓으면:

d2hdξ2−2ξdhdξ+(K−1)h=0\frac{d^2h}{d\xi^2} - 2\xi\frac{dh}{d\xi} + (K - 1)h = 0

Step 3: 멱급수 풀이

h(ξ)=∑j=0∞ajξjh(\xi) = \sum_{j=0}^{\infty} a_j \xi^j를 대입하면 점화 관계:

aj+2=2j+1−K(j+1)(j+2)aja_{j+2} = \frac{2j + 1 - K}{(j+1)(j+2)}a_j

Step 4: 급수의 절단 조건

j→∞j \to \infty에서 aj+2/aj→2/ja_{j+2}/a_j \to 2/j이면, h(ξ)∼eξ2h(\xi) \sim e^{\xi^2}가 되어 ψ\psi가 발산한다. 물리적 해를 얻으려면 급수가 유한 항에서 끝나야 한다:

an+2=0  ⟹  K=2n+1  ⟹  En=ℏω(n+12)a_{n+2} = 0 \implies K = 2n + 1 \implies E_n = \hbar\omega\left(n + \frac{1}{2}\right)

이 절단 조건이 바로 에너지 양자화의 기원이다.

■

3. 기저 상태 파동함수의 명시적 유도

a^−ψ0=0\hat{a}_-\psi_0 = 0을 위치 표현에서 풀면:

12ℏmω(ℏddx+mωx)ψ0=0\frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}}\left(\hbar\frac{d}{dx} + m\omega x\right)\psi_0 = 0 dψ0dx=−mωℏx ψ0\frac{d\psi_0}{dx} = -\frac{m\omega}{\hbar}x\,\psi_0

이 1차 미분 방정식의 해:

ψ0(x)=Aexp⁡(−mω2ℏx2)\psi_0(x) = A\exp\left(-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2\right)

규격화 조건 ∫∣ψ0∣2dx=1\int |\psi_0|^2 dx = 1로부터:

A=(mωπℏ)1/4A = \left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}
예제에너지 준위의 등간격성 확인

처음 몇 에너지 준위를 나열하면:

| nn | En/(ℏω)E_n / (\hbar\omega) | 에너지 간격 | |---|---|---| | 0 | 1/21/2 | --- | | 1 | 3/23/2 | ℏω\hbar\omega | | 2 | 5/25/2 | ℏω\hbar\omega | | 3 | 7/27/2 | ℏω\hbar\omega |

인접 준위 간의 에너지 간격 ΔE=ℏω\Delta E = \hbar\omega는 nn에 무관하게 일정하다. 이 등간격 스펙트럼은 조화진동자만의 고유한 성질이며, 양자 전기역학에서 광자의 에너지 양자화 E=nℏωE = n\hbar\omega와 직결된다.