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물리학 강의 노트

법칙완성

슈뢰딩거 방정식 (Schrödinger Equation)

1. 시간 의존 슈뢰딩거 방정식

법칙2.1시간 의존 슈뢰딩거 방정식

양자역학에서 계의 상태 Ψ\Psi의 시간 발전은 다음 방정식에 의해 결정된다:

iℏ∂∂tΨ(r,t)=H^Ψ(r,t)i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r}, t) = \hat{H}\Psi(\mathbf{r}, t)

1차원에서 해밀토니안이 H^=T^+V^\hat{H} = \hat{T} + \hat{V}일 때:

iℏ∂Ψ∂t=−ℏ22m∂2Ψ∂x2+V(x,t)Ψi\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} + V(x, t)\Psi

3차원에서:

iℏ∂Ψ∂t=−ℏ22m∇2Ψ+V(r,t)Ψi\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi + V(\mathbf{r}, t)\Psi

슈뢰딩거 방정식은 양자역학의 공준(postulate)으로, 유도되는 것이 아니라 자연 법칙으로 받아들여진다. 뉴턴의 F=maF = ma가 고전역학의 기본 법칙인 것과 같은 위상을 갖는다.

2. 슈뢰딩거 방정식의 성질

참고핵심 성질
  1. 선형성: Ψ1\Psi_1과 Ψ2\Psi_2가 해이면, c1Ψ1+c2Ψ2c_1\Psi_1 + c_2\Psi_2도 해이다 (중첩 원리).
  2. 1차 시간 미분: 초기 조건 Ψ(r,0)\Psi(\mathbf{r}, 0)만 알면 모든 t>0t > 0에서의 Ψ(r,t)\Psi(\mathbf{r}, t)가 유일하게 결정된다 (결정론적 발전).
  3. 유니터리 발전: 확률이 보존된다 (∫∣Ψ∣2d3r=const\int |\Psi|^2 d^3r = \text{const}).
  4. 갈릴레이 불변성: 갈릴레이 변환 하에서 적절한 위상 변환과 함께 형태가 보존된다.

3. 시간 발전 연산자

슈뢰딩거 방정식의 형식적 해는 시간 발전 연산자(time evolution operator) U^(t)\hat{U}(t)로 표현할 수 있다:

∣Ψ(t)⟩=U^(t)∣Ψ(0)⟩|\Psi(t)\rangle = \hat{U}(t)|\Psi(0)\rangle

시간에 의존하지 않는 해밀토니안의 경우:

U^(t)=e−iH^t/ℏ\hat{U}(t) = e^{-i\hat{H}t/\hbar}

U^(t)\hat{U}(t)는 유니터리 연산자(unitary operator)이다: U^†U^=U^U^†=I^\hat{U}^\dagger \hat{U} = \hat{U}\hat{U}^\dagger = \hat{I}.

이는 다음을 보장한다:

  • 내적 보존: ⟨Φ(t)∣Ψ(t)⟩=⟨Φ(0)∣Ψ(0)⟩\langle \Phi(t)|\Psi(t)\rangle = \langle \Phi(0)|\Psi(0)\rangle
  • 규격화 보존: ⟨Ψ(t)∣Ψ(t)⟩=1\langle \Psi(t)|\Psi(t)\rangle = 1

4. 슈뢰딩거 방정식의 동기

슈뢰딩거 방정식은 다음 관계를 동기로 구성되었다:

드브로이 관계 E=ℏωE = \hbar\omega, p=ℏkp = \hbar k와 평면파 Ψ=ei(kx−ωt)\Psi = e^{i(kx - \omega t)}로부터:

iℏ∂Ψ∂t=ℏωΨ=EΨi\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t} = \hbar\omega \Psi = E\Psi −iℏ∂Ψ∂x=ℏkΨ=pΨ-i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial x} = \hbar k \Psi = p\Psi

고전적 에너지-운동량 관계 E=p2/(2m)+VE = p^2/(2m) + V에서 E→iℏ∂tE \to i\hbar\partial_t, p→−iℏ∂xp \to -i\hbar\partial_x로 대체하면:

iℏ∂Ψ∂t=−ℏ22m∂2Ψ∂x2+VΨi\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2} + V\Psi

5. 고전역학과의 관계

예제에렌페스트 정리를 통한 고전 극한

슈뢰딩거 방정식으로부터 기댓값의 시간 발전을 계산하면:

md⟨x⟩dt=⟨p⟩m\frac{d\langle x \rangle}{dt} = \langle p \rangled⟨p⟩dt=−⟨∂V∂x⟩\frac{d\langle p \rangle}{dt} = -\left\langle \frac{\partial V}{\partial x} \right\rangle

파동 패킷이 충분히 좁아서 V(x)V(x)가 ⟨x⟩\langle x \rangle 근방에서 거의 선형이면:

⟨∂V∂x⟩≈∂V∂x∣x=⟨x⟩\left\langle \frac{\partial V}{\partial x}\right\rangle \approx \frac{\partial V}{\partial x}\bigg|_{x=\langle x\rangle}

이 경우 기댓값은 뉴턴의 운동 방정식 mx¨=−dV/dxm\ddot{x} = -dV/dx를 따른다. 이것이 에렌페스트 정리(Ehrenfest's theorem)의 핵심이며, 고전역학이 양자역학의 극한임을 보여준다.

6. 슈뢰딩거 방정식의 다양한 표현

| 표현 | 형태 | |---|---| | 위치 표현 | iℏ∂tΨ(x,t)=H^Ψ(x,t)i\hbar\partial_t \Psi(x,t) = \hat{H}\Psi(x,t) | | 운동량 표현 | iℏ∂tΦ(p,t)=H^pΦ(p,t)i\hbar\partial_t \Phi(p,t) = \hat{H}_p \Phi(p,t) | | 디랙 표기 | iℏddt∣Ψ⟩=H^∣Ψ⟩i\hbar\frac{d}{dt}\lvert\Psi\rangle = \hat{H}\lvert\Psi\rangle | | 행렬 표현 | iℏddtc(t)=Hc(t)i\hbar\frac{d}{dt}\mathbf{c}(t) = \mathbf{H}\mathbf{c}(t) | | 경로 적분 | K=∫D[x(t)] eiS[x]/ℏK = \int \mathcal{D}[x(t)] \, e^{iS[x]/\hbar} |

운동량 표현에서 해밀토니안은:

H^p=p22m+V(iℏ∂∂p)\hat{H}_p = \frac{p^2}{2m} + V\left(i\hbar\frac{\partial}{\partial p}\right)