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물리학 강의 노트

개념완성

힐베르트 공간 (Hilbert Space)

1. 벡터 공간으로서의 양자 상태

양자역학의 형식론에서, 계의 상태는 추상적인 힐베르트 공간(Hilbert space) H\mathcal{H}의 벡터로 표현된다.

정의3.1힐베르트 공간

힐베르트 공간 H\mathcal{H}은 다음 조건을 만족하는 복소 벡터 공간이다:

  1. 내적(inner product)이 정의됨: 임의의 ∣f⟩,∣g⟩∈H|f\rangle, |g\rangle \in \mathcal{H}에 대해 ⟨f∣g⟩∈C\langle f | g \rangle \in \mathbb{C}
  2. 내적의 성질:
    • ⟨f∣g⟩=⟨g∣f⟩∗\langle f | g \rangle = \langle g | f \rangle^* (켤레 대칭)
    • ⟨f∣(a∣g⟩+b∣h⟩)=a⟨f∣g⟩+b⟨f∣h⟩\langle f | (a|g\rangle + b|h\rangle) = a\langle f|g\rangle + b\langle f|h\rangle (두 번째 인수에 대한 선형성)
    • ⟨f∣f⟩≥0\langle f | f \rangle \geq 0, 등호는 ∣f⟩=0|f\rangle = 0일 때만 (양의 정부호)
  3. 완비성(completeness): 모든 코시 수열이 수렴한다.

2. 양자역학에서의 구체적 힐베르트 공간

양자역학에서 주로 등장하는 힐베르트 공간은:

위치 공간 파동함수의 공간 L2(R)L^2(\mathbb{R}):

⟨f∣g⟩=∫−∞∞f∗(x) g(x) dx\langle f | g \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} f^*(x) \, g(x) \, dx

이 공간의 원소는 제곱 적분 가능한 함수: ∫∣f(x)∣2dx<∞\int |f(x)|^2 dx < \infty.

유한 차원 공간 Cn\mathbb{C}^n: 스핀 등의 이산 자유도를 기술. 예를 들어, 스핀-1/21/2의 상태 공간은 C2\mathbb{C}^2이다.

3. 기저와 완전성

정의3.2정규직교 기저

힐베르트 공간의 정규직교 기저(orthonormal basis) {∣en⟩}\{|e_n\rangle\}는 다음을 만족한다:

⟨em∣en⟩=δmn(직교 규격성)\langle e_m | e_n \rangle = \delta_{mn} \quad \text{(직교 규격성)}∑n∣en⟩⟨en∣=I^(완전성 관계, completeness relation)\sum_n |e_n\rangle\langle e_n| = \hat{I} \quad \text{(완전성 관계, completeness relation)}

연속 기저의 경우:

⟨x∣x′⟩=δ(x−x′),∫∣x⟩⟨x∣ dx=I^\langle x | x' \rangle = \delta(x - x'), \quad \int |x\rangle\langle x| \, dx = \hat{I}

임의의 상태 ∣Ψ⟩|\Psi\rangle은 기저로 전개할 수 있다:

∣Ψ⟩=∑ncn∣en⟩,cn=⟨en∣Ψ⟩|\Psi\rangle = \sum_n c_n |e_n\rangle, \quad c_n = \langle e_n | \Psi \rangle

4. 이중 공간과 브라-켓

참고브라 공간과 리스 표현 정리

힐베르트 공간 H\mathcal{H}의 이중 공간(dual space) H∗\mathcal{H}^*는 H\mathcal{H}에서 C\mathbb{C}로의 연속 선형 범함수의 공간이다. 리스 표현 정리(Riesz representation theorem)에 의해, 모든 연속 선형 범함수 ϕ\phi는 유일한 ∣f⟩∈H|f\rangle \in \mathcal{H}에 의해:

ϕ(∣g⟩)=⟨f∣g⟩\phi(|g\rangle) = \langle f | g \rangle

로 표현된다. 이것이 브라 ⟨f∣\langle f|와 켓 ∣g⟩|g\rangle의 대응의 수학적 기초이다.

5. 텐서곱 공간

정의3.3텐서곱 힐베르트 공간

두 부분계의 힐베르트 공간이 H1\mathcal{H}_1과 H2\mathcal{H}_2일 때, 합성계의 힐베르트 공간은 텐서곱(tensor product)으로 구성된다:

H=H1⊗H2\mathcal{H} = \mathcal{H}_1 \otimes \mathcal{H}_2

H1\mathcal{H}_1의 기저가 {∣i⟩}\{|i\rangle\}, H2\mathcal{H}_2의 기저가 {∣j⟩}\{|j\rangle\}이면, H\mathcal{H}의 기저는 {∣i⟩⊗∣j⟩}\{|i\rangle \otimes |j\rangle\}이다.

dim⁡(H1)=n1\dim(\mathcal{H}_1) = n_1, dim⁡(H2)=n2\dim(\mathcal{H}_2) = n_2이면 dim⁡(H)=n1⋅n2\dim(\mathcal{H}) = n_1 \cdot n_2이다.

텐서곱 공간에서 ∣Ψ⟩=∣a⟩⊗∣b⟩|\Psi\rangle = |a\rangle \otimes |b\rangle 형태로 쓸 수 없는 상태를 얽힌 상태(entangled state)라 한다.

예제두 스핀-1/2 입자의 상태 공간

각 입자의 상태 공간은 C2\mathbb{C}^2이므로, 합성계의 상태 공간은:

H=C2⊗C2=C4\mathcal{H} = \mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2 = \mathbb{C}^4

기저: {∣ ⁣↑↑⟩,∣ ⁣↑↓⟩,∣ ⁣↓↑⟩,∣ ⁣↓↓⟩}\{|\!\uparrow\uparrow\rangle, |\!\uparrow\downarrow\rangle, |\!\downarrow\uparrow\rangle, |\!\downarrow\downarrow\rangle\}

벨 상태(Bell state) ∣Φ+⟩=12(∣ ⁣↑↑⟩+∣ ⁣↓↓⟩)|\Phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\!\uparrow\uparrow\rangle + |\!\downarrow\downarrow\rangle)는 얽힌 상태의 대표적 예이다. 이 상태는 어떤 곱 상태(product state) ∣a⟩⊗∣b⟩|a\rangle \otimes |b\rangle로도 분해할 수 없다.