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물리학 강의 노트

개념완성

에르미트 연산자 (Hermitian Operators)

1. 연산자의 기본 개념

양자역학에서 물리적 관측량(observable)은 힐베르트 공간 위의 연산자(operator)로 표현된다.

정의3.4선형 연산자

힐베르트 공간 H\mathcal{H} 위의 선형 연산자 A^\hat{A}는:

A^(a∣α⟩+b∣β⟩)=aA^∣α⟩+bA^∣β⟩\hat{A}(a|\alpha\rangle + b|\beta\rangle) = a\hat{A}|\alpha\rangle + b\hat{A}|\beta\rangle

를 만족하는 사상 A^:H→H\hat{A}: \mathcal{H} \to \mathcal{H}이다.

2. 에르미트 연산자 (자기수반 연산자)

정의3.5에르미트 연산자

연산자 A^\hat{A}가 에르미트(Hermitian) 또는 자기수반(self-adjoint)이라 함은:

A^†=A^\hat{A}^\dagger = \hat{A}

즉, 임의의 ∣f⟩,∣g⟩∈H|f\rangle, |g\rangle \in \mathcal{H}에 대해:

⟨f∣A^g⟩=⟨A^f∣g⟩\langle f | \hat{A} g \rangle = \langle \hat{A} f | g \rangle

위치 표현에서 이는:

∫f∗(x)[A^g(x)]dx=∫[A^f(x)]∗g(x) dx\int f^*(x)[\hat{A}g(x)]dx = \int [\hat{A}f(x)]^* g(x) \, dx

양자역학의 공준에 의하면, 모든 관측량은 에르미트 연산자로 표현된다.

3. 에르미트 연산자의 성질

참고에르미트 연산자의 핵심 정리

에르미트 연산자 A^\hat{A}는 다음 성질을 갖는다:

  1. 고유값이 실수: A^∣a⟩=a∣a⟩\hat{A}|a\rangle = a|a\rangle이면 a∈Ra \in \mathbb{R}

    증명: ⟨a∣A^∣a⟩=a⟨a∣a⟩\langle a|\hat{A}|a\rangle = a\langle a|a\rangle이고, 동시에 ⟨a∣A^∣a⟩=⟨A^a∣a⟩=a∗⟨a∣a⟩\langle a|\hat{A}|a\rangle = \langle \hat{A}a|a\rangle = a^*\langle a|a\rangle이므로 a=a∗a = a^*.

  2. 다른 고유값에 속하는 고유벡터는 직교: a≠a′a \neq a'이면 ⟨a′∣a⟩=0\langle a'|a\rangle = 0

    증명: ⟨a′∣A^∣a⟩\langle a'|\hat{A}|a\rangle을 두 가지로 계산하면 (a−a′)⟨a′∣a⟩=0(a - a')\langle a'|a\rangle = 0.

  3. 고유벡터가 완전계를 이룸: ∑n∣an⟩⟨an∣=I^\sum_n |a_n\rangle\langle a_n| = \hat{I} (스펙트럼 정리)

  4. 기댓값이 실수: ⟨A^⟩=⟨Ψ∣A^∣Ψ⟩∈R\langle \hat{A} \rangle = \langle \Psi|\hat{A}|\Psi\rangle \in \mathbb{R}

4. 주요 관측량과 대응하는 연산자

| 관측량 | 연산자 (위치 표현) | 교환 관계 | |---|---|---| | 위치 xx | x^=x\hat{x} = x | [x^,p^]=iℏ[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar | | 운동량 pp | p^=−iℏ∂∂x\hat{p} = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x} | | | 운동 에너지 TT | T^=−ℏ22m∂2∂x2\hat{T} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} | | | 해밀토니안 HH | H^=T^+V(x^)\hat{H} = \hat{T} + V(\hat{x}) | | | 각운동량 LzL_z | L^z=−iℏ∂∂ϕ\hat{L}_z = -i\hbar\frac{\partial}{\partial\phi} | [L^i,L^j]=iℏϵijkL^k[\hat{L}_i, \hat{L}_j] = i\hbar\epsilon_{ijk}\hat{L}_k |

5. 유니터리 연산자

정의3.6유니터리 연산자

유니터리 연산자(unitary operator) U^\hat{U}는 다음을 만족한다:

U^†U^=U^U^†=I^\hat{U}^\dagger \hat{U} = \hat{U}\hat{U}^\dagger = \hat{I}

유니터리 연산자는 내적을 보존한다:

⟨U^f∣U^g⟩=⟨f∣g⟩\langle \hat{U}f | \hat{U}g \rangle = \langle f | g \rangle

유니터리 연산자는 양자역학에서 대칭 변환과 시간 발전을 기술한다. 에르미트 연산자 A^\hat{A}로부터 유니터리 연산자를 구성할 수 있다:

U^=eiA^θ\hat{U} = e^{i\hat{A}\theta}
예제에르미트성 확인: 운동량 연산자

p^=−iℏ d/dx\hat{p} = -i\hbar \, d/dx가 에르미트임을 확인한다:

⟨f∣p^∣g⟩=∫−∞∞f∗(−iℏdgdx)dx\langle f|\hat{p}|g\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} f^* \left(-i\hbar\frac{dg}{dx}\right) dx

부분 적분:

=−iℏ[f∗g]−∞∞+iℏ∫−∞∞df∗dxg dx=∫−∞∞(−iℏdfdx)∗g dx=⟨p^f∣g⟩= -i\hbar[f^* g]_{-\infty}^{\infty} + i\hbar\int_{-\infty}^{\infty}\frac{df^*}{dx}g \, dx = \int_{-\infty}^{\infty}\left(-i\hbar\frac{df}{dx}\right)^* g \, dx = \langle \hat{p}f|g\rangle

경계항은 f,g∈L2(R)f, g \in L^2(\mathbb{R})이므로 x→±∞x \to \pm\infty에서 0으로 사라진다. 따라서 p^†=p^\hat{p}^\dagger = \hat{p}.