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물리학 강의 노트

개념완성

디랙 표기법 (Dirac Notation)

1. 켓과 브라

디랙(P.A.M. Dirac)이 도입한 브라-켓 표기법은 양자역학의 형식론을 간결하고 우아하게 표현하는 도구이다.

정의3.7켓과 브라
  • 켓(ket) ∣α⟩|\alpha\rangle: 힐베르트 공간 H\mathcal{H}의 벡터 (양자 상태)
  • 브라(bra) ⟨α∣\langle\alpha|: 이중 공간 H∗\mathcal{H}^*의 벡터 (∣α⟩|\alpha\rangle에 대응하는 선형 범함수)
  • 브라-켓(bracket) ⟨β∣α⟩\langle\beta|\alpha\rangle: 내적 (스칼라, ∈C\in \mathbb{C})
  • 켓-브라(ket-bra) ∣α⟩⟨β∣|\alpha\rangle\langle\beta|: 연산자 (H→H\mathcal{H} \to \mathcal{H})

대응 관계:

∣α⟩=c1∣1⟩+c2∣2⟩⟷⟨α∣=c1∗⟨1∣+c2∗⟨2∣|\alpha\rangle = c_1|1\rangle + c_2|2\rangle \quad \longleftrightarrow \quad \langle\alpha| = c_1^*\langle 1| + c_2^*\langle 2|

2. 내적과 노름

내적의 기본 성질:

⟨β∣α⟩=⟨α∣β⟩∗\langle\beta|\alpha\rangle = \langle\alpha|\beta\rangle^* ⟨α∣α⟩≥0,⟨α∣α⟩=0  ⟺  ∣α⟩=0\langle\alpha|\alpha\rangle \geq 0, \quad \langle\alpha|\alpha\rangle = 0 \iff |\alpha\rangle = 0

노름: ∥∣α⟩∥=⟨α∣α⟩\||\alpha\rangle\| = \sqrt{\langle\alpha|\alpha\rangle}

규격화 조건: ⟨α∣α⟩=1\langle\alpha|\alpha\rangle = 1

3. 연산자의 디랙 표기

정의3.8연산자의 행렬 원소

연산자 A^\hat{A}의 기저 {∣n⟩}\{|n\rangle\}에 대한 행렬 원소(matrix element):

Amn=⟨m∣A^∣n⟩A_{mn} = \langle m|\hat{A}|n\rangle

에르미트 연산자의 스펙트럼 분해(spectral decomposition):

A^=∑nan∣an⟩⟨an∣\hat{A} = \sum_n a_n |a_n\rangle\langle a_n|

여기서 ana_n은 고유값, ∣an⟩|a_n\rangle은 대응하는 고유벡터이다.

4. 완전성 관계의 활용

완전성 관계 ∑n∣n⟩⟨n∣=I^\sum_n |n\rangle\langle n| = \hat{I}는 디랙 표기법의 가장 강력한 도구이다.

참고완전성 관계를 이용한 표현 변환

이산 기저에서:

∣α⟩=I^∣α⟩=∑n∣n⟩⟨n∣α⟩=∑ncn∣n⟩|\alpha\rangle = \hat{I}|\alpha\rangle = \sum_n |n\rangle\langle n|\alpha\rangle = \sum_n c_n |n\rangle

위치 기저로의 전개:

∣α⟩=∫∣x⟩⟨x∣α⟩ dx  ⟹  ⟨x∣α⟩=Ψα(x)(파동함수)|\alpha\rangle = \int |x\rangle\langle x|\alpha\rangle \, dx \implies \langle x|\alpha\rangle = \Psi_\alpha(x) \quad \text{(파동함수)}

기저 변환: 두 기저 {∣n⟩}\{|n\rangle\}과 {∣n′⟩}\{|n'\rangle\} 사이:

⟨n′∣α⟩=∑n⟨n′∣n⟩⟨n∣α⟩\langle n'|\alpha\rangle = \sum_n \langle n'|n\rangle \langle n|\alpha\rangle

여기서 ⟨n′∣n⟩\langle n'|n\rangle은 기저 변환 행렬의 원소이다.

5. 위치 표현과 운동량 표현

위치 기저 ∣x⟩|x\rangle과 운동량 기저 ∣p⟩|p\rangle의 관계:

⟨x∣p⟩=12πℏeipx/ℏ\langle x | p \rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} e^{ipx/\hbar}

이로부터:

Ψ(x)=⟨x∣Ψ⟩=∫⟨x∣p⟩⟨p∣Ψ⟩ dp=12πℏ∫Φ(p)eipx/ℏdp\Psi(x) = \langle x|\Psi\rangle = \int \langle x|p\rangle\langle p|\Psi\rangle \, dp = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int \Phi(p) e^{ipx/\hbar} dp

이는 푸리에 변환에 다름 아니다.

예제디랙 표기법을 이용한 기댓값 계산

관측량 A^\hat{A}의 고유분해 A^=∑nan∣an⟩⟨an∣\hat{A} = \sum_n a_n |a_n\rangle\langle a_n|에 대해:

⟨A⟩=⟨Ψ∣A^∣Ψ⟩=∑nan∣⟨an∣Ψ⟩∣2=∑nan∣cn∣2\langle A \rangle = \langle\Psi|\hat{A}|\Psi\rangle = \sum_n a_n |\langle a_n|\Psi\rangle|^2 = \sum_n a_n |c_n|^2

이는 "고유값 ×\times 확률"의 가중 합이라는 보른의 해석과 정확히 일치한다.

A^2\hat{A}^2의 기댓값:

⟨A2⟩=∑nan2∣cn∣2\langle A^2 \rangle = \sum_n a_n^2 |c_n|^2

분산:

(ΔA)2=⟨A2⟩−⟨A⟩2=∑n(an−⟨A⟩)2∣cn∣2(\Delta A)^2 = \langle A^2\rangle - \langle A\rangle^2 = \sum_n (a_n - \langle A\rangle)^2 |c_n|^2

6. 사영 연산자

정의3.9사영 연산자

사영 연산자(projection operator) P^n=∣n⟩⟨n∣\hat{P}_n = |n\rangle\langle n|은 다음 성질을 만족한다:

P^n2=P^n,P^n†=P^n,P^mP^n=δmnP^n\hat{P}_n^2 = \hat{P}_n, \quad \hat{P}_n^\dagger = \hat{P}_n, \quad \hat{P}_m \hat{P}_n = \delta_{mn}\hat{P}_n

상태 ∣Ψ⟩|\Psi\rangle에 P^n\hat{P}_n을 작용하면:

P^n∣Ψ⟩=cn∣n⟩\hat{P}_n|\Psi\rangle = c_n|n\rangle

이것이 측정에 의한 파동함수 붕괴의 수학적 표현이다. 관측량 A^\hat{A}를 측정하여 고유값 ana_n을 얻으면, 측정 직후의 상태는 P^n∣Ψ⟩/∥Pn∣Ψ⟩∥=∣an⟩\hat{P}_n|\Psi\rangle / \|P_n|\Psi\rangle\| = |a_n\rangle이다.