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물리학 강의 노트

개념완성

측정과 고유값 (Measurement and Eigenvalues)

1. 양자 측정의 공준

정의3.10측정 공준

관측량 AA에 대응하는 에르미트 연산자 A^\hat{A}에 대해:

  1. 측정 결과: A^\hat{A}를 측정할 때, 가능한 결과는 A^\hat{A}의 고유값 {an}\{a_n\}뿐이다.
  2. 측정 확률: 상태 ∣Ψ⟩|\Psi\rangle에서 고유값 ana_n을 얻을 확률은:
P(an)=∣⟨an∣Ψ⟩∣2P(a_n) = |\langle a_n | \Psi \rangle|^2
  1. 상태 붕괴: 측정으로 ana_n을 얻은 직후, 계의 상태는 ∣an⟩|a_n\rangle으로 붕괴(collapse)한다.

2. 이산 스펙트럼과 연속 스펙트럼

이산 스펙트럼(discrete spectrum): 고유값이 셀 수 있는 경우

P(an)=∣cn∣2,∑nP(an)=1P(a_n) = |c_n|^2, \quad \sum_n P(a_n) = 1

연속 스펙트럼(continuous spectrum): 고유값이 연속적인 경우

dP=∣⟨a∣Ψ⟩∣2da,∫P(a) da=1dP = |\langle a | \Psi \rangle|^2 da, \quad \int P(a) \, da = 1
참고축퇴의 경우

고유값 ana_n이 축퇴(degenerate)되어 있으면, 즉 여러 고유벡터 ∣an(i)⟩|a_n^{(i)}\rangle (i=1,…,gni = 1, \ldots, g_n)이 같은 고유값을 가지면:

P(an)=∑i=1gn∣⟨an(i)∣Ψ⟩∣2P(a_n) = \sum_{i=1}^{g_n} |\langle a_n^{(i)} | \Psi \rangle|^2

측정 후 상태는 축퇴된 부분 공간으로의 사영:

∣Ψ′⟩=P^n∣Ψ⟩P(an),P^n=∑i=1gn∣an(i)⟩⟨an(i)∣|\Psi'\rangle = \frac{\hat{P}_n|\Psi\rangle}{\sqrt{P(a_n)}}, \quad \hat{P}_n = \sum_{i=1}^{g_n} |a_n^{(i)}\rangle\langle a_n^{(i)}|

3. 양립 가능한 관측량

정의3.11양립 가능한 관측량

두 관측량 A^\hat{A}와 B^\hat{B}가 양립 가능(compatible)하다 함은:

[A^,B^]=A^B^−B^A^=0[\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A} = 0

양립 가능한 관측량은 동시 고유상태(simultaneous eigenstate)를 공유한다:

A^∣a,b⟩=a∣a,b⟩,B^∣a,b⟩=b∣a,b⟩\hat{A}|a, b\rangle = a|a, b\rangle, \quad \hat{B}|a, b\rangle = b|a, b\rangle

양립 불가능한 관측량([A^,B^]≠0[\hat{A}, \hat{B}] \neq 0)은 동시에 확정된 값을 가질 수 없다.

4. CSCO (Complete Set of Commuting Observables)

정의3.12완전 교환 관측량 집합

완전 교환 관측량 집합(CSCO)은 다음을 만족하는 관측량의 최소 집합 {A^,B^,C^,…}\{\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}, \ldots\}이다:

  1. 모든 쌍이 교환한다: [A^,B^]=[A^,C^]=[B^,C^]=⋯=0[\hat{A}, \hat{B}] = [\hat{A}, \hat{C}] = [\hat{B}, \hat{C}] = \cdots = 0
  2. 동시 고유상태가 유일하게 결정된다 (축퇴가 완전히 해소됨)
예제수소 원자의 CSCO

수소 원자에서 스핀을 무시하면, CSCO는:

{H^,L^2,L^z}\{\hat{H}, \hat{L}^2, \hat{L}_z\}

각각의 고유값 (En,ℓ(ℓ+1)ℏ2,mℏ)(E_n, \ell(\ell+1)\hbar^2, m\hbar)로 상태 ∣n,ℓ,m⟩|n, \ell, m\rangle이 유일하게 결정된다.

스핀을 포함하면:

{H^,L^2,L^z,S^2,S^z}\{\hat{H}, \hat{L}^2, \hat{L}_z, \hat{S}^2, \hat{S}_z\}

상태 ∣n,ℓ,mℓ,s,ms⟩|n, \ell, m_\ell, s, m_s\rangle로 유일하게 결정된다.

5. 측정의 반복과 준비

동일한 관측량 A^\hat{A}를 연속으로 두 번 측정하면, 첫 번째 측정에서 ana_n을 얻었다면 두 번째 측정에서도 반드시 ana_n을 얻는다. 이는 첫 번째 측정 후 상태가 ∣an⟩|a_n\rangle으로 붕괴했기 때문이다.

그러나 중간에 양립 불가능한 관측량 B^\hat{B} ([A^,B^]≠0[\hat{A}, \hat{B}] \neq 0)를 측정하면, 이후 A^\hat{A}를 다시 측정할 때 결과가 달라질 수 있다. 이는 B^\hat{B}의 측정이 A^\hat{A}의 고유상태를 교란시키기 때문이다.

∣an⟩→측정 B^∣bm⟩→측정 A^∣an′⟩(n′≠n 가능)|a_n\rangle \xrightarrow{\text{측정 } \hat{B}} |b_m\rangle \xrightarrow{\text{측정 } \hat{A}} |a_{n'}\rangle \quad (n' \neq n \text{ 가능})

이는 불확정성 원리의 또 다른 표현이다.