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물리학 강의 노트

법칙완성

일반화된 불확정성 원리 (Generalized Uncertainty Principle)

1. 일반적 진술

법칙3.1일반화된 불확정성 원리 (로버트슨 부등식)

임의의 두 에르미트 연산자 A^\hat{A}, B^\hat{B}에 대해:

ΔA⋅ΔB≥12∣⟨[A^,B^]⟩∣\Delta A \cdot \Delta B \geq \frac{1}{2}\left|\langle[\hat{A}, \hat{B}]\rangle\right|

여기서 ΔA=⟨A^2⟩−⟨A^⟩2\Delta A = \sqrt{\langle \hat{A}^2\rangle - \langle \hat{A}\rangle^2}이고, [A^,B^]=A^B^−B^A^[\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}이다.

더 강한 형태의 부등식(슈뢰딩거 부등식)도 존재한다:

(ΔA)2(ΔB)2≥14∣⟨{A^′,B^′}⟩∣2+14∣⟨[A^,B^]⟩∣2(\Delta A)^2(\Delta B)^2 \geq \frac{1}{4}|\langle\{\hat{A}', \hat{B}'\}\rangle|^2 + \frac{1}{4}|\langle[\hat{A}, \hat{B}]\rangle|^2

여기서 A^′=A^−⟨A⟩\hat{A}' = \hat{A} - \langle A\rangle, B^′=B^−⟨B⟩\hat{B}' = \hat{B} - \langle B\rangle이며, {⋅,⋅}\{\cdot, \cdot\}는 반교환자이다.

2. 유도

유도로버트슨 부등식 유도

편차 연산자 A^′=A^−⟨A⟩\hat{A}' = \hat{A} - \langle A\rangle, B^′=B^−⟨B⟩\hat{B}' = \hat{B} - \langle B\rangle에 대해 ∣f⟩=A^′∣Ψ⟩|f\rangle = \hat{A}'|\Psi\rangle, ∣g⟩=B^′∣Ψ⟩|g\rangle = \hat{B}'|\Psi\rangle으로 놓자.

슈바르츠 부등식:

⟨f∣f⟩⟨g∣g⟩≥∣⟨f∣g⟩∣2\langle f|f\rangle\langle g|g\rangle \geq |\langle f|g\rangle|^2

⟨f∣f⟩=(ΔA)2\langle f|f\rangle = (\Delta A)^2, ⟨g∣g⟩=(ΔB)2\langle g|g\rangle = (\Delta B)^2이고:

⟨f∣g⟩=⟨A^′B^′⟩=12⟨{A^′,B^′}⟩+12⟨[A^′,B^′]⟩\langle f|g\rangle = \langle\hat{A}'\hat{B}'\rangle = \frac{1}{2}\langle\{\hat{A}', \hat{B}'\}\rangle + \frac{1}{2}\langle[\hat{A}', \hat{B}']\rangle

[A^′,B^′]=[A^,B^][\hat{A}', \hat{B}'] = [\hat{A}, \hat{B}]이고, 반교환자 기댓값은 실수, 교환자 기댓값은 순허수이므로:

∣⟨f∣g⟩∣2=14∣⟨{A^′,B^′}⟩∣2+14∣⟨[A^,B^]⟩∣2≥14∣⟨[A^,B^]⟩∣2|\langle f|g\rangle|^2 = \frac{1}{4}|\langle\{\hat{A}', \hat{B}'\}\rangle|^2 + \frac{1}{4}|\langle[\hat{A}, \hat{B}]\rangle|^2 \geq \frac{1}{4}|\langle[\hat{A}, \hat{B}]\rangle|^2

따라서:

ΔA⋅ΔB≥12∣⟨[A^,B^]⟩∣\boxed{\Delta A \cdot \Delta B \geq \frac{1}{2}|\langle[\hat{A}, \hat{B}]\rangle|}
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3. 주요 응용

예제위치-운동량 불확정성

A^=x^\hat{A} = \hat{x}, B^=p^\hat{B} = \hat{p}이면 [x^,p^]=iℏ[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar이므로:

Δx⋅Δp≥12∣iℏ∣=ℏ2\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{1}{2}|i\hbar| = \frac{\hbar}{2}

이것이 하이젠베르크 불확정성 원리이다.

예제각운동량 성분의 불확정성

[L^x,L^y]=iℏL^z[\hat{L}_x, \hat{L}_y] = i\hbar\hat{L}_z이므로:

ΔLx⋅ΔLy≥ℏ2∣⟨Lz⟩∣\Delta L_x \cdot \Delta L_y \geq \frac{\hbar}{2}|\langle L_z\rangle|

∣l,m⟩|l, m\rangle 상태에서 ⟨Lz⟩=mℏ\langle L_z\rangle = m\hbar이므로:

ΔLx⋅ΔLy≥mℏ22\Delta L_x \cdot \Delta L_y \geq \frac{m\hbar^2}{2}

m=0m = 0이면 우변이 0이 되어, 원리적으로 LxL_x와 LyL_y를 동시에 0으로 만들 수 있다. 실제로 ∣l=0,m=0⟩|l = 0, m = 0\rangle 상태에서 Lx=Ly=Lz=0L_x = L_y = L_z = 0이다.

4. 상태 의존성

참고일반화된 불확정성 원리의 상태 의존성

로버트슨 부등식의 하한 12∣⟨[A^,B^]⟩∣\frac{1}{2}|\langle[\hat{A}, \hat{B}]\rangle|는 상태 ∣Ψ⟩|\Psi\rangle에 의존한다. 이는 위치-운동량의 경우([x^,p^]=iℏ[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar가 상수)와 대조적이다.

따라서 [A^,B^]≠0[\hat{A}, \hat{B}] \neq 0이라 해도, 특정 상태에서 우변이 0이 될 수 있다. 이런 경우 로버트슨 부등식은 유용한 정보를 주지 못하며, 반교환자 항을 포함하는 슈뢰딩거 부등식이 더 강한 제약을 준다.

5. 에너지-시간 불확정성의 형식적 유도

관측량 Q^\hat{Q}에 대해:

d⟨Q⟩dt=1iℏ⟨[Q^,H^]⟩\frac{d\langle Q\rangle}{dt} = \frac{1}{i\hbar}\langle[\hat{Q}, \hat{H}]\rangle

로버트슨 부등식 ΔQ⋅ΔE≥12∣⟨[Q^,H^]⟩∣\Delta Q \cdot \Delta E \geq \frac{1}{2}|\langle[\hat{Q}, \hat{H}]\rangle|에서:

ΔQ⋅ΔE≥ℏ2∣d⟨Q⟩dt∣\Delta Q \cdot \Delta E \geq \frac{\hbar}{2}\left|\frac{d\langle Q\rangle}{dt}\right|

ΔtQ≡ΔQ/∣d⟨Q⟩/dt∣\Delta t_Q \equiv \Delta Q / |d\langle Q\rangle/dt|로 정의하면:

ΔE⋅ΔtQ≥ℏ2\Delta E \cdot \Delta t_Q \geq \frac{\hbar}{2}

여기서 ΔtQ\Delta t_Q는 "관측량 QQ의 기댓값이 표준편차 ΔQ\Delta Q만큼 변하는 데 걸리는 시간"이다.