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물리학 강의 노트

법칙완성

에렌페스트 정리 (Ehrenfest Theorem)

1. 정리의 진술

법칙3.2에렌페스트 정리

임의의 관측량 Q^\hat{Q}에 대해, 그 기댓값의 시간 미분은:

ddt⟨Q^⟩=1iℏ⟨[Q^,H^]⟩+⟨∂Q^∂t⟩\frac{d}{dt}\langle \hat{Q} \rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle[\hat{Q}, \hat{H}]\rangle + \left\langle\frac{\partial \hat{Q}}{\partial t}\right\rangle

특별히 Q^\hat{Q}가 명시적으로 시간에 의존하지 않으면:

ddt⟨Q^⟩=1iℏ⟨[Q^,H^]⟩\frac{d}{dt}\langle \hat{Q} \rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle[\hat{Q}, \hat{H}]\rangle

이 정리는 양자역학적 기댓값이 고전역학적 운동 방정식과 유사한 법칙을 따름을 보여준다.

2. 유도

유도에렌페스트 정리 유도
ddt⟨Q^⟩=ddt⟨Ψ∣Q^∣Ψ⟩=⟨∂Ψ∂t∣Q^∣Ψ⟩+⟨Ψ∣∂Q^∂t∣Ψ⟩+⟨Ψ∣Q^∣∂Ψ∂t⟩\frac{d}{dt}\langle\hat{Q}\rangle = \frac{d}{dt}\langle\Psi|\hat{Q}|\Psi\rangle = \left\langle\frac{\partial\Psi}{\partial t}\bigg|\hat{Q}\bigg|\Psi\right\rangle + \left\langle\Psi\bigg|\frac{\partial\hat{Q}}{\partial t}\bigg|\Psi\right\rangle + \left\langle\Psi\bigg|\hat{Q}\bigg|\frac{\partial\Psi}{\partial t}\right\rangle

슈뢰딩거 방정식 iℏ∣Ψ˙⟩=H^∣Ψ⟩i\hbar|\dot{\Psi}\rangle = \hat{H}|\Psi\rangle에서 ∣Ψ˙⟩=−iℏH^∣Ψ⟩|\dot{\Psi}\rangle = -\frac{i}{\hbar}\hat{H}|\Psi\rangle이므로:

⟨∂Ψ∂t∣Q^∣Ψ⟩=iℏ⟨Ψ∣H^Q^∣Ψ⟩\left\langle\frac{\partial\Psi}{\partial t}\bigg|\hat{Q}\bigg|\Psi\right\rangle = \frac{i}{\hbar}\langle\Psi|\hat{H}\hat{Q}|\Psi\rangle⟨Ψ∣Q^∣∂Ψ∂t⟩=−iℏ⟨Ψ∣Q^H^∣Ψ⟩\left\langle\Psi\bigg|\hat{Q}\bigg|\frac{\partial\Psi}{\partial t}\right\rangle = -\frac{i}{\hbar}\langle\Psi|\hat{Q}\hat{H}|\Psi\rangle

합치면:

ddt⟨Q^⟩=iℏ⟨H^Q^−Q^H^⟩+⟨∂Q^∂t⟩=1iℏ⟨[Q^,H^]⟩+⟨∂Q^∂t⟩\frac{d}{dt}\langle\hat{Q}\rangle = \frac{i}{\hbar}\langle\hat{H}\hat{Q} - \hat{Q}\hat{H}\rangle + \left\langle\frac{\partial\hat{Q}}{\partial t}\right\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle[\hat{Q}, \hat{H}]\rangle + \left\langle\frac{\partial\hat{Q}}{\partial t}\right\rangle
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3. 뉴턴의 운동 법칙과의 대응

Q^=x^\hat{Q} = \hat{x}에 대해:

d⟨x⟩dt=1iℏ⟨[x^,H^]⟩=1iℏ⟨[x^,p^22m]⟩=⟨p^⟩m\frac{d\langle x\rangle}{dt} = \frac{1}{i\hbar}\langle[\hat{x}, \hat{H}]\rangle = \frac{1}{i\hbar}\left\langle\left[\hat{x}, \frac{\hat{p}^2}{2m}\right]\right\rangle = \frac{\langle\hat{p}\rangle}{m}

Q^=p^\hat{Q} = \hat{p}에 대해:

d⟨p⟩dt=1iℏ⟨[p^,H^]⟩=1iℏ⟨[p^,V(x^)]⟩=−⟨∂V∂x⟩\frac{d\langle p\rangle}{dt} = \frac{1}{i\hbar}\langle[\hat{p}, \hat{H}]\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle[\hat{p}, V(\hat{x})]\rangle = -\left\langle\frac{\partial V}{\partial x}\right\rangle

이 두 결과를 결합하면:

md2⟨x⟩dt2=−⟨∂V∂x⟩m\frac{d^2\langle x\rangle}{dt^2} = -\left\langle\frac{\partial V}{\partial x}\right\rangle
참고고전 극한과의 차이

주의: −⟨∂V/∂x⟩≠−∂V/∂x∣x=⟨x⟩-\langle \partial V/\partial x\rangle \neq -\partial V/\partial x|_{x=\langle x\rangle} 일반적으로. 등호가 성립하는 것은:

  1. V(x)V(x)가 xx의 2차 이하 다항식인 경우 (자유 입자, 조화진동자, 균일 중력장)
  2. 파동 패킷이 충분히 좁아서 VV가 ⟨x⟩\langle x\rangle 근방에서 거의 선형인 경우

이 두 경우에 기댓값은 정확히 고전 궤적을 따른다.

4. 비리알 정리

에렌페스트 정리의 특수한 경우로 양자역학적 비리알 정리(virial theorem)를 유도할 수 있다.

Q^=x^p^\hat{Q} = \hat{x}\hat{p}에 대해 정상 상태에서 d⟨x^p^⟩/dt=0d\langle\hat{x}\hat{p}\rangle/dt = 0이므로:

2⟨T⟩=⟨x∂V∂x⟩2\langle T\rangle = \left\langle x\frac{\partial V}{\partial x}\right\rangle

포텐셜이 V(x)=αxnV(x) = \alpha x^n 형태이면:

2⟨T⟩=n⟨V⟩2\langle T\rangle = n\langle V\rangle
예제비리알 정리의 응용

| 시스템 | 포텐셜 | nn | 결과 | |---|---|---|---| | 조화진동자 | 12mω2x2\frac{1}{2}m\omega^2 x^2 | 2 | ⟨T⟩=⟨V⟩\langle T\rangle = \langle V\rangle | | 수소 원자 | −e2/r-e^2/r | −1-1 | ⟨T⟩=−12⟨V⟩\langle T\rangle = -\frac{1}{2}\langle V\rangle, E=12⟨V⟩E = \frac{1}{2}\langle V\rangle | | 무한 우물 | --- | --- | ⟨T⟩=E\langle T\rangle = E (V=0V=0 inside) |

수소 원자의 기저 상태에서: ⟨T⟩=13.6\langle T\rangle = 13.6 eV, ⟨V⟩=−27.2\langle V\rangle = -27.2 eV, E=−13.6E = -13.6 eV.

5. 고전역학과의 형식적 유사성

에렌페스트 정리는 고전 해밀턴 역학의 포아송 괄호와 구조적으로 동일하다:

| 양자역학 | 고전역학 | |---|---| | d⟨Q^⟩dt=1iℏ⟨[Q^,H^]⟩\frac{d\langle\hat{Q}\rangle}{dt} = \frac{1}{i\hbar}\langle[\hat{Q}, \hat{H}]\rangle | dQdt={Q,H}PB\frac{dQ}{dt} = \{Q, H\}_{\text{PB}} |

여기서 디랙의 대응 원리: 1iℏ[A^,B^]↔{A,B}PB\frac{1}{i\hbar}[\hat{A}, \hat{B}] \leftrightarrow \{A, B\}_{\text{PB}}

이 대응은 양자역학의 정준 양자화(canonical quantization) 절차의 기초이다.