변수 분리법 (Separation of Variables)

1. 3차원 슈뢰딩거 방정식

정의4.13차원 시간 비의존 슈뢰딩거 방정식

3차원에서 시간 비의존 슈뢰딩거 방정식은:

-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(\mathbf{r}) + V(\mathbf{r})\psi(\mathbf{r}) = E\psi(\mathbf{r})

구면 좌표 $(r, \theta, \phi)$ 에서 라플라시안은:

\nabla^2 = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}

2. 구면 대칭 포텐셜에서의 변수 분리

포텐셜이 구면 대칭일 때 $V(\mathbf{r}) = V(r)$ , 파동함수를 다음과 같이 분리한다:

\psi(r, \theta, \phi) = R(r) \cdot Y(\theta, \phi)

슈뢰딩거 방정식에 대입하고 $r^2 / (R \cdot Y)$ 를 곱하면, $r$ 에만 의존하는 부분과 $\theta, \phi$ 에만 의존하는 부분이 분리된다.

각도 부분:

\frac{1}{Y}\left[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial Y}{\partial\theta}\right) + \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2 Y}{\partial\phi^2}\right] = -\ell(\ell+1)

지름 부분:

\frac{1}{R}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right) - \frac{2mr^2}{\hbar^2}[V(r) - E] = \ell(\ell+1)

3. 각도 방정식의 추가 분리

각도 부분 $Y(\theta, \phi)$ 도 다시 분리할 수 있다. $Y(\theta, \phi) = \Theta(\theta)\Phi(\phi)$ 로 놓으면:

$\phi$ 방정식:

\frac{d^2\Phi}{d\phi^2} = -m^2\Phi \implies \Phi(\phi) = e^{im\phi}

단일값 조건 $\Phi(\phi + 2\pi) = \Phi(\phi)$ 에서 $m = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$

$\theta$ 방정식 (연관 르장드르 방정식):

\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\right) + \left[\ell(\ell+1) - \frac{m^2}{\sin^2\theta}\right]\Theta = 0

물리적 해가 존재하려면 $\ell = 0, 1, 2, \ldots$ 이고 $|m| \leq \ell$ 이어야 한다.

참고양자수의 범위

변수 분리에서 자연스럽게 도출되는 양자수:

주양자수 $n$ : 지름 방정식의 경계 조건에서 결정 ( $n = 1, 2, 3, \ldots$ )
궤도 양자수 $\ell$ : 각도 방정식에서 결정 ( $\ell = 0, 1, \ldots, n-1$ )
자기 양자수 $m$ : $\phi$ 방정식의 단일값 조건에서 결정 ( $m = -\ell, \ldots, +\ell$ )

4. 지름 방정식

지름 방정식을 $u(r) = rR(r)$ 로 치환하면 더 다루기 쉬운 형태가 된다:

-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2u}{dr^2} + \left[V(r) + \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\ell(\ell+1)}{r^2}\right]u = Eu

이는 유효 포텐셜 $V_{\text{eff}}(r) = V(r) + \hbar^2\ell(\ell+1)/(2mr^2)$ 을 가진 1차원 문제와 동일하다. 두 번째 항 $\hbar^2\ell(\ell+1)/(2mr^2)$ 는 원심력 장벽(centrifugal barrier)이다.

예제3차원 무한 구형 우물

$V(r) = 0$ ( $r < a$ ), $V(r) = \infty$ ( $r > a$ )인 경우:

-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2u}{dr^2} + \frac{\hbar^2\ell(\ell+1)}{2mr^2}u = Eu \quad (r < a)

$\ell = 0$ 이면 $u(r) = A\sin(kr)$ , 경계 조건 $u(a) = 0$ 에서 $k_n = n\pi/a$ :

E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}

$\ell \neq 0$ 이면 해는 구면 베셀 함수(spherical Bessel functions) $j_\ell(kr)$ 이며, 경계 조건에서 $j_\ell(ka) = 0$ 의 영점이 에너지를 결정한다.

5. 데카르트 좌표에서의 변수 분리

포텐셜이 $V(x, y, z) = V_x(x) + V_y(y) + V_z(z)$ 형태이면, 데카르트 좌표에서 분리 가능하다:

\psi(x, y, z) = X(x)Y(y)Z(z), \quad E = E_x + E_y + E_z

예제3차원 조화진동자 (데카르트 분리)

$V = \frac{1}{2}m\omega^2(x^2 + y^2 + z^2)$ 이면:

E_{n_x, n_y, n_z} = \hbar\omega\left(n_x + n_y + n_z + \frac{3}{2}\right) = \hbar\omega\left(N + \frac{3}{2}\right)

$N = n_x + n_y + n_z$ 일 때, 축퇴도는 $(N+1)(N+2)/2$ 이다.