수소 원자 (Hydrogen Atom)

1. 쿨롱 포텐셜

정의4.5수소 원자 문제의 설정

수소 원자는 전하 $+e$ 의 양성자와 전하 $-e$ 의 전자로 구성된다. 쿨롱 포텐셜:

V(r) = -\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r}

환산 질량 $\mu = m_e m_p / (m_e + m_p) \approx m_e$ 를 사용하면, 지름 방정식:

-\frac{\hbar^2}{2\mu}\frac{d^2u}{dr^2} + \left[-\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r} + \frac{\hbar^2\ell(\ell+1)}{2\mu r^2}\right]u = Eu

여기서 $u(r) = rR(r)$ 이다.

점근 해석과 급수해법을 통해, 속박 상태( $E < 0$ )의 에너지 고유값을 구하면:

E_n = -\frac{\mu e^4}{2(4\pi\epsilon_0)^2\hbar^2}\frac{1}{n^2} = -\frac{13.6 \text{ eV}}{n^2}, \quad n = 1, 2, 3, \ldots

이는 보어 모형의 결과와 정확히 일치한다.

참고축퇴도

에너지 $E_n$ 은 $n$ 에만 의존하므로, 각 에너지 준위의 축퇴도는:

g_n = \sum_{\ell=0}^{n-1}(2\ell + 1) = n^2

스핀을 포함하면 $2n^2$ 이다. 이 높은 축퇴도는 쿨롱 포텐셜의 특수한 대칭성(SO(4) 대칭, Runge-Lenz 벡터의 보존)에 기인한다. $\ell$ 에 대한 축퇴는 일반적인 구면 대칭 포텐셜에서는 나타나지 않는다.

정의4.6수소 원자 파동함수

수소 원자의 파동함수는:

\psi_{n\ell m}(r, \theta, \phi) = R_{n\ell}(r) \, Y_\ell^m(\theta, \phi)

지름 파동함수 $R_{n\ell}(r)$ :

R_{n\ell}(r) = -\sqrt{\left(\frac{2}{na_0}\right)^3 \frac{(n-\ell-1)!}{2n[(n+\ell)!]^3}} \, e^{-r/(na_0)} \left(\frac{2r}{na_0}\right)^\ell L_{n-\ell-1}^{2\ell+1}\left(\frac{2r}{na_0}\right)

여기서 $L_p^q$ 는 연관 라게르 다항식(associated Laguerre polynomial), $a_0 = 4\pi\epsilon_0\hbar^2/(\mu e^2) \approx 0.529$ A 는 보어 반지름이다.

처음 몇 지름 파동함수:

R_{10} = 2\left(\frac{1}{a_0}\right)^{3/2} e^{-r/a_0}

R_{20} = \frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\frac{1}{a_0}\right)^{3/2}\left(2 - \frac{r}{a_0}\right)e^{-r/(2a_0)}

R_{21} = \frac{1}{2\sqrt{6}}\left(\frac{1}{a_0}\right)^{3/2}\frac{r}{a_0}e^{-r/(2a_0)}

지름 확률 밀도: $P(r) = r^2|R_{n\ell}(r)|^2$

예제수소 원자의 주요 기댓값

\langle r \rangle_{n\ell} = \frac{a_0}{2}[3n^2 - \ell(\ell+1)]

\langle r^2 \rangle_{n\ell} = \frac{a_0^2 n^2}{2}[5n^2 + 1 - 3\ell(\ell+1)]

\left\langle \frac{1}{r} \right\rangle_{n\ell} = \frac{1}{n^2 a_0}

\left\langle \frac{1}{r^2} \right\rangle_{n\ell} = \frac{1}{n^3(\ell+1/2)a_0^2}

기저 상태 ( $n=1, \ell=0$ )에서:

수소 원자의 전이에 의한 방출/흡수 파장:

\frac{1}{\lambda} = R_\infty\left(\frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2}\right)

여기서 $R_\infty = \mu e^4 / (8\epsilon_0^2 h^3 c) \approx 1.097 \times 10^7 \text{ m}^{-1}$ 은 뤼드베리 상수이다.

| 계열 | $n_f$ | 영역 | |---|---|---| | 라이만 (Lyman) | 1 | 자외선 | | 발머 (Balmer) | 2 | 가시광선 | | 파셴 (Paschen) | 3 | 적외선 | | 브래킷 (Brackett) | 4 | 적외선 |

실제 수소 원자의 에너지 준위는 여러 보정을 받는다:

미세 구조(fine structure): 상대론적 보정 + 스핀-궤도 결합, $\sim \alpha^2 E_n$ ( $\alpha \approx 1/137$ )
램 이동(Lamb shift): 양자 전기역학적 보정, $\sim \alpha^3 E_n \ln\alpha$
초미세 구조(hyperfine structure): 전자-양성자 스핀 상호작용, $\sim (m_e/m_p)\alpha^2 E_n$