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물리학 강의 노트

개념완성

궤도 각운동량 (Orbital Angular Momentum)

1. 궤도 각운동량 연산자

정의5.1궤도 각운동량 연산자

고전 각운동량 L=r×p\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}에 대응하는 양자역학적 연산자:

L^=r^×p^=−iℏ(r×∇)\hat{\mathbf{L}} = \hat{\mathbf{r}} \times \hat{\mathbf{p}} = -i\hbar(\mathbf{r} \times \nabla)

성분별로:

L^x=y^p^z−z^p^y=−iℏ(y∂∂z−z∂∂y)\hat{L}_x = \hat{y}\hat{p}_z - \hat{z}\hat{p}_y = -i\hbar\left(y\frac{\partial}{\partial z} - z\frac{\partial}{\partial y}\right)L^y=z^p^x−x^p^z=−iℏ(z∂∂x−x∂∂z)\hat{L}_y = \hat{z}\hat{p}_x - \hat{x}\hat{p}_z = -i\hbar\left(z\frac{\partial}{\partial x} - x\frac{\partial}{\partial z}\right)L^z=x^p^y−y^p^x=−iℏ(x∂∂y−y∂∂x)=−iℏ∂∂ϕ\hat{L}_z = \hat{x}\hat{p}_y - \hat{y}\hat{p}_x = -i\hbar\left(x\frac{\partial}{\partial y} - y\frac{\partial}{\partial x}\right) = -i\hbar\frac{\partial}{\partial\phi}

2. 구면 좌표에서의 표현

구면 좌표 (r,θ,ϕ)(r, \theta, \phi)에서:

L^z=−iℏ∂∂ϕ\hat{L}_z = -i\hbar\frac{\partial}{\partial\phi} L^±=L^x±iL^y=±ℏe±iϕ(∂∂θ±icot⁡θ∂∂ϕ)\hat{L}_{\pm} = \hat{L}_x \pm i\hat{L}_y = \pm\hbar e^{\pm i\phi}\left(\frac{\partial}{\partial\theta} \pm i\cot\theta\frac{\partial}{\partial\phi}\right) L^2=−ℏ2[1sin⁡θ∂∂θ(sin⁡θ∂∂θ)+1sin⁡2θ∂2∂ϕ2]\hat{L}^2 = -\hbar^2\left[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right) + \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\phi^2}\right]
참고라플라시안과의 관계

3차원 라플라시안은 각운동량 연산자를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다:

∇2=1r2∂∂r(r2∂∂r)−L^2ℏ2r2\nabla^2 = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right) - \frac{\hat{L}^2}{\hbar^2 r^2}

따라서 운동 에너지 연산자:

T^=−ℏ22m∇2=p^r22m+L^22mr2\hat{T} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 = \frac{\hat{p}_r^2}{2m} + \frac{\hat{L}^2}{2mr^2}

여기서 p^r=−iℏ(1/r)(∂/∂r)(r⋅)\hat{p}_r = -i\hbar(1/r)(\partial/\partial r)(r \cdot)는 지름 방향 운동량 연산자이다.

3. 고유값과 고유함수

L^2\hat{L}^2와 L^z\hat{L}_z는 교환하므로 ([L^2,L^z]=0[\hat{L}^2, \hat{L}_z] = 0) 동시 고유함수를 갖는다:

L^2Yℓm=ℏ2ℓ(ℓ+1)Yℓm,ℓ=0,1,2,…\hat{L}^2 Y_\ell^m = \hbar^2\ell(\ell+1)Y_\ell^m, \quad \ell = 0, 1, 2, \ldots L^zYℓm=mℏ Yℓm,m=−ℓ,−ℓ+1,…,ℓ\hat{L}_z Y_\ell^m = m\hbar \, Y_\ell^m, \quad m = -\ell, -\ell+1, \ldots, \ell

각 ℓ\ell 값에 대해 2ℓ+12\ell + 1개의 mm 값이 존재한다.

4. 사다리 연산자

정의5.2각운동량 사다리 연산자

올림/내림 연산자 L^±=L^x±iL^y\hat{L}_{\pm} = \hat{L}_x \pm i\hat{L}_y는:

L^+Yℓm=ℏℓ(ℓ+1)−m(m+1) Yℓm+1\hat{L}_+Y_\ell^m = \hbar\sqrt{\ell(\ell+1) - m(m+1)} \, Y_\ell^{m+1}L^−Yℓm=ℏℓ(ℓ+1)−m(m−1) Yℓm−1\hat{L}_-Y_\ell^m = \hbar\sqrt{\ell(\ell+1) - m(m-1)} \, Y_\ell^{m-1}

유용한 관계:

L^2=L^+L^−+L^z2−ℏL^z=L^−L^++L^z2+ℏL^z\hat{L}^2 = \hat{L}_+\hat{L}_- + \hat{L}_z^2 - \hbar\hat{L}_z = \hat{L}_-\hat{L}_+ + \hat{L}_z^2 + \hbar\hat{L}_z

5. 궤도 각운동량의 불확정성

예제궤도 각운동량의 측정

∣l=1,m=1⟩|l=1, m=1\rangle 상태에서 각 성분의 기댓값과 불확정도:

⟨Lz⟩=ℏ,ΔLz=0\langle L_z \rangle = \hbar, \quad \Delta L_z = 0⟨Lx⟩=⟨Ly⟩=0\langle L_x \rangle = \langle L_y \rangle = 0⟨Lx2⟩=⟨Ly2⟩=12(⟨L2⟩−⟨Lz2⟩)=12(2ℏ2−ℏ2)=ℏ22\langle L_x^2 \rangle = \langle L_y^2 \rangle = \frac{1}{2}(\langle L^2 \rangle - \langle L_z^2 \rangle) = \frac{1}{2}(2\hbar^2 - \hbar^2) = \frac{\hbar^2}{2}ΔLx=ΔLy=ℏ2\Delta L_x = \Delta L_y = \frac{\hbar}{\sqrt{2}}

불확정성 관계 확인: ΔLx⋅ΔLy=ℏ2/2≥ℏ2∣⟨Lz⟩∣=ℏ2/2\Delta L_x \cdot \Delta L_y = \hbar^2/2 \geq \frac{\hbar}{2}|\langle L_z\rangle| = \hbar^2/2 (등호 성립).

6. 궤도 양자수의 정수 조건

궤도 각운동량의 양자수 ℓ\ell은 반드시 음이 아닌 정수여야 한다. 이는 L^z=−iℏ∂/∂ϕ\hat{L}_z = -i\hbar\partial/\partial\phi의 고유함수 eimϕe^{im\phi}가 ϕ→ϕ+2π\phi \to \phi + 2\pi에서 단일값 조건을 만족하려면 mm이 정수여야 하기 때문이다.

이는 스핀 각운동량과의 본질적 차이이다. 스핀의 경우 이러한 단일값 조건이 없으므로 반정수(1/2,3/2,…1/2, 3/2, \ldots) 값도 허용된다.