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물리학 강의 노트

개념완성

스핀 (Spin)

1. 스핀의 도입

스핀은 입자의 내재적 각운동량(intrinsic angular momentum)으로, 궤도 운동과 무관한 순수 양자역학적 자유도이다.

정의5.3스핀 각운동량

스핀 연산자 S^=(S^x,S^y,S^z)\hat{\mathbf{S}} = (\hat{S}_x, \hat{S}_y, \hat{S}_z)는 궤도 각운동량과 동일한 교환 관계를 만족한다:

[S^i,S^j]=iℏϵijkS^k[\hat{S}_i, \hat{S}_j] = i\hbar\epsilon_{ijk}\hat{S}_k

고유값 방정식:

S^2∣s,ms⟩=ℏ2s(s+1)∣s,ms⟩\hat{S}^2|s, m_s\rangle = \hbar^2 s(s+1)|s, m_s\rangleS^z∣s,ms⟩=msℏ∣s,ms⟩\hat{S}_z|s, m_s\rangle = m_s\hbar|s, m_s\rangle

여기서 s=0,12,1,32,…s = 0, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, \ldots (정수 또는 반정수), ms=−s,−s+1,…,sm_s = -s, -s+1, \ldots, s

2. 스핀-1/2

전자, 양성자, 중성자 등 대부분의 기본 입자는 스핀-1/21/2을 갖는다.

정의5.4스핀-1/2 시스템

스핀-1/21/2의 상태 공간은 C2\mathbb{C}^2이며, 기저 상태:

∣ ⁣↑⟩=(10)≡∣+⟩,∣ ⁣↓⟩=(01)≡∣−⟩|\!\uparrow\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \equiv |+\rangle, \quad |\!\downarrow\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \equiv |-\rangle

스핀 연산자의 행렬 표현 (파울리 행렬):

S^i=ℏ2σi\hat{S}_i = \frac{\hbar}{2}\sigma_iσx=(0110),σy=(0−ii0),σz=(100−1)\sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

3. 파울리 행렬의 성질

파울리 행렬은 다음 성질을 만족한다:

σi2=I,σiσj=iϵijkσk(i≠j)\sigma_i^2 = I, \quad \sigma_i\sigma_j = i\epsilon_{ijk}\sigma_k \quad (i \neq j) {σi,σj}=2δijI\{\sigma_i, \sigma_j\} = 2\delta_{ij}I σiσj=δijI+iϵijkσk\sigma_i\sigma_j = \delta_{ij}I + i\epsilon_{ijk}\sigma_k tr(σi)=0,det⁡(σi)=−1\text{tr}(\sigma_i) = 0, \quad \det(\sigma_i) = -1
참고파울리 행렬의 완전성

2×22 \times 2 에르미트 행렬은 I,σx,σy,σzI, \sigma_x, \sigma_y, \sigma_z의 실수 선형 결합으로 표현된다. 따라서 임의의 스핀-1/21/2 관측량은:

A^=a0I+a⋅σ\hat{A} = a_0 I + \mathbf{a} \cdot \boldsymbol{\sigma}

형태로 쓸 수 있다.

4. 임의 방향의 스핀 측정

정의5.5임의 방향 스핀 연산자

단위 벡터 n^=(sin⁡θcos⁡ϕ,sin⁡θsin⁡ϕ,cos⁡θ)\hat{\mathbf{n}} = (\sin\theta\cos\phi, \sin\theta\sin\phi, \cos\theta) 방향의 스핀 연산자:

S^n=n^⋅S^=ℏ2n^⋅σ=ℏ2(cos⁡θsin⁡θ e−iϕsin⁡θ eiϕ−cos⁡θ)\hat{S}_n = \hat{\mathbf{n}} \cdot \hat{\mathbf{S}} = \frac{\hbar}{2}\hat{\mathbf{n}} \cdot \boldsymbol{\sigma} = \frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \, e^{-i\phi} \\ \sin\theta \, e^{i\phi} & -\cos\theta \end{pmatrix}

고유값: ±ℏ/2\pm\hbar/2

+ℏ/2+\hbar/2 고유상태: ∣n^,+⟩=cos⁡θ2∣ ⁣↑⟩+sin⁡θ2eiϕ∣ ⁣↓⟩|\hat{\mathbf{n}}, +\rangle = \cos\frac{\theta}{2}|\!\uparrow\rangle + \sin\frac{\theta}{2}e^{i\phi}|\!\downarrow\rangle

−ℏ/2-\hbar/2 고유상태: ∣n^,−⟩=−sin⁡θ2∣ ⁣↑⟩+cos⁡θ2eiϕ∣ ⁣↓⟩|\hat{\mathbf{n}}, -\rangle = -\sin\frac{\theta}{2}|\!\uparrow\rangle + \cos\frac{\theta}{2}e^{i\phi}|\!\downarrow\rangle

예제슈테른-게를라흐 실험의 양자역학적 분석

zz-방향으로 스핀 업 상태 ∣ ⁣↑⟩|\!\uparrow\rangle인 전자가 xx-방향 슈테른-게를라흐 장치를 통과하면:

∣ ⁣↑⟩=12∣x,+⟩+12∣x,−⟩|\!\uparrow\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|x, +\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|x, -\rangle

Sx=+ℏ/2S_x = +\hbar/2를 얻을 확률: ∣1/2∣2=1/2|1/\sqrt{2}|^2 = 1/2

Sx=−ℏ/2S_x = -\hbar/2를 얻을 확률: ∣1/2∣2=1/2|1/\sqrt{2}|^2 = 1/2

이후 다시 zz-방향 측정을 하면, SxS_x 측정에서 +ℏ/2+\hbar/2를 얻은 빔에서:

∣x,+⟩=12∣ ⁣↑⟩+12∣ ⁣↓⟩|x, +\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|\!\uparrow\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|\!\downarrow\rangle

Sz=+ℏ/2,−ℏ/2S_z = +\hbar/2, -\hbar/2 각각 확률 1/21/2. 즉, 처음에 확정되어 있던 SzS_z 정보가 SxS_x 측정에 의해 소실되었다.

5. 스핀의 시간 발전: 세차 운동

균일 자기장 B=Bz^\mathbf{B} = B\hat{\mathbf{z}}에서 스핀-1/21/2 입자의 해밀토니안:

H^=−γS^⋅B=−γBS^z=−ω02ℏσz\hat{H} = -\gamma\hat{\mathbf{S}} \cdot \mathbf{B} = -\gamma B\hat{S}_z = -\frac{\omega_0}{2}\hbar\sigma_z

여기서 ω0=γB\omega_0 = \gamma B는 라모어 진동수(Larmor frequency)이다.

초기 상태가 ∣Ψ(0)⟩=cos⁡α2∣ ⁣↑⟩+sin⁡α2∣ ⁣↓⟩|\Psi(0)\rangle = \cos\frac{\alpha}{2}|\!\uparrow\rangle + \sin\frac{\alpha}{2}|\!\downarrow\rangle이면:

∣Ψ(t)⟩=cos⁡α2eiω0t/2∣ ⁣↑⟩+sin⁡α2e−iω0t/2∣ ⁣↓⟩|\Psi(t)\rangle = \cos\frac{\alpha}{2}e^{i\omega_0 t/2}|\!\uparrow\rangle + \sin\frac{\alpha}{2}e^{-i\omega_0 t/2}|\!\downarrow\rangle

기댓값:

⟨Sx⟩=ℏ2sin⁡αcos⁡(ω0t),⟨Sy⟩=−ℏ2sin⁡αsin⁡(ω0t),⟨Sz⟩=ℏ2cos⁡α\langle S_x\rangle = \frac{\hbar}{2}\sin\alpha\cos(\omega_0 t), \quad \langle S_y\rangle = -\frac{\hbar}{2}\sin\alpha\sin(\omega_0 t), \quad \langle S_z\rangle = \frac{\hbar}{2}\cos\alpha

스핀 기댓값 벡터가 zz-축을 중심으로 진동수 ω0\omega_0로 세차 운동(precession)한다.