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물리학 강의 노트

개념완성

각운동량 합성 (Addition of Angular Momenta)

1. 합성의 문제

두 각운동량 J^1\hat{\mathbf{J}}_1과 J^2\hat{\mathbf{J}}_2가 있을 때, 전체 각운동량 J^=J^1+J^2\hat{\mathbf{J}} = \hat{\mathbf{J}}_1 + \hat{\mathbf{J}}_2의 고유상태를 구하는 것이 각운동량 합성의 문제이다.

정의5.6각운동량 합성

두 각운동량 J^1\hat{\mathbf{J}}_1 (양자수 j1j_1)과 J^2\hat{\mathbf{J}}_2 (양자수 j2j_2)의 합:

J^=J^1+J^2\hat{\mathbf{J}} = \hat{\mathbf{J}}_1 + \hat{\mathbf{J}}_2

비결합 기저 (uncoupled basis): ∣j1,m1⟩⊗∣j2,m2⟩≡∣j1,m1;j2,m2⟩|j_1, m_1\rangle \otimes |j_2, m_2\rangle \equiv |j_1, m_1; j_2, m_2\rangle

이 기저에서 J^12,J^1z,J^22,J^2z\hat{J}_1^2, \hat{J}_{1z}, \hat{J}_2^2, \hat{J}_{2z}는 대각화되어 있다.

결합 기저 (coupled basis): ∣j1,j2;J,M⟩≡∣J,M⟩|j_1, j_2; J, M\rangle \equiv |J, M\rangle

이 기저에서 J^12,J^22,J^2,J^z\hat{J}_1^2, \hat{J}_2^2, \hat{J}^2, \hat{J}_z가 대각화되어 있다.

2. 전체 각운동량의 양자수 범위

정의5.7삼각 조건

전체 각운동량 양자수 JJ의 범위:

∣j1−j2∣≤J≤j1+j2|j_1 - j_2| \leq J \leq j_1 + j_2

이를 삼각 조건(triangle condition)이라 하며, JJ는 1씩 변한다.

자기 양자수: M=m1+m2M = m_1 + m_2, −J≤M≤J-J \leq M \leq J

상태 수의 보존: ∑J=∣j1−j2∣j1+j2(2J+1)=(2j1+1)(2j2+1)\sum_{J=|j_1-j_2|}^{j_1+j_2}(2J+1) = (2j_1+1)(2j_2+1)

3. 클렙쉬-고르단 계수

비결합 기저와 결합 기저 사이의 변환:

∣J,M⟩=∑m1+m2=M⟨j1,m1;j2,m2∣J,M⟩ ∣j1,m1;j2,m2⟩|J, M\rangle = \sum_{m_1+m_2=M} \langle j_1, m_1; j_2, m_2 | J, M\rangle \, |j_1, m_1; j_2, m_2\rangle

여기서 ⟨j1,m1;j2,m2∣J,M⟩\langle j_1, m_1; j_2, m_2 | J, M\rangle이 클렙쉬-고르단 계수(Clebsch-Gordan coefficient)이다.

참고클렙쉬-고르단 계수의 성질
  • 선택 규칙: M=m1+m2M = m_1 + m_2이 아니면 0
  • 실수: 표준 위상 규약(Condon-Shortley convention)에서 모든 CG 계수는 실수
  • 직교성: ∑m1,m2⟨j1,m1;j2,m2∣J,M⟩⟨j1,m1;j2,m2∣J′,M′⟩=δJJ′δMM′\sum_{m_1, m_2}\langle j_1, m_1; j_2, m_2|J, M\rangle\langle j_1, m_1; j_2, m_2|J', M'\rangle = \delta_{JJ'}\delta_{MM'}
  • 최대/최소 MM 상태: ∣J=j1+j2,M=j1+j2⟩=∣j1,j1;j2,j2⟩|J = j_1+j_2, M = j_1+j_2\rangle = |j_1, j_1; j_2, j_2\rangle (CG 계수 = 1)

4. 두 스핀-1/2의 합성

예제두 스핀-1/2 입자의 합성

j1=j2=1/2j_1 = j_2 = 1/2이면, J=0J = 0 또는 J=1J = 1이다.

삼중항 상태 (J=1J = 1, 대칭):

∣1,1⟩=∣ ⁣↑↑⟩|1, 1\rangle = |\!\uparrow\uparrow\rangle∣1,0⟩=12(∣ ⁣↑↓⟩+∣ ⁣↓↑⟩)|1, 0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\!\uparrow\downarrow\rangle + |\!\downarrow\uparrow\rangle)∣1,−1⟩=∣ ⁣↓↓⟩|1, -1\rangle = |\!\downarrow\downarrow\rangle

단일항 상태 (J=0J = 0, 반대칭):

∣0,0⟩=12(∣ ⁣↑↓⟩−∣ ⁣↓↑⟩)|0, 0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\!\uparrow\downarrow\rangle - |\!\downarrow\uparrow\rangle)

검증: 4=(2⋅1/2+1)(2⋅1/2+1)=3+1=(2⋅1+1)+(2⋅0+1)4 = (2 \cdot 1/2 + 1)(2 \cdot 1/2 + 1) = 3 + 1 = (2 \cdot 1 + 1) + (2 \cdot 0 + 1)

5. 스핀-궤도 결합

예제스핀-궤도 합성

궤도 각운동량 ℓ\ell과 스핀 s=1/2s = 1/2의 합성: J^=L^+S^\hat{\mathbf{J}} = \hat{\mathbf{L}} + \hat{\mathbf{S}}

전체 각운동량 양자수:

j=ℓ+12또는j=ℓ−12(ℓ≥1)j = \ell + \frac{1}{2} \quad \text{또는} \quad j = \ell - \frac{1}{2} \quad (\ell \geq 1)

ℓ=0\ell = 0이면 j=1/2j = 1/2만 가능하다.

ℓ=1\ell = 1의 경우:

∣j=3/2,mj=1/2⟩=23∣mℓ=1,ms=−1/2⟩+13∣mℓ=0,ms=1/2⟩|j = 3/2, m_j = 1/2\rangle = \sqrt{\frac{2}{3}}|m_\ell = 1, m_s = -1/2\rangle + \sqrt{\frac{1}{3}}|m_\ell = 0, m_s = 1/2\rangle∣j=1/2,mj=1/2⟩=−13∣mℓ=1,ms=−1/2⟩+23∣mℓ=0,ms=1/2⟩|j = 1/2, m_j = 1/2\rangle = -\sqrt{\frac{1}{3}}|m_\ell = 1, m_s = -1/2\rangle + \sqrt{\frac{2}{3}}|m_\ell = 0, m_s = 1/2\rangle

이 결합 기저에서 스핀-궤도 해밀토니안 H^SO∝L^⋅S^\hat{H}_{SO} \propto \hat{\mathbf{L}} \cdot \hat{\mathbf{S}}가 대각화된다:

L^⋅S^=12(J^2−L^2−S^2)  ⟹  ⟨L^⋅S^⟩=ℏ22[j(j+1)−ℓ(ℓ+1)−s(s+1)]\hat{\mathbf{L}} \cdot \hat{\mathbf{S}} = \frac{1}{2}(\hat{J}^2 - \hat{L}^2 - \hat{S}^2) \implies \langle\hat{\mathbf{L}} \cdot \hat{\mathbf{S}}\rangle = \frac{\hbar^2}{2}[j(j+1) - \ell(\ell+1) - s(s+1)]

6. 위그너-에카르트 정리

텐서 연산자 T^q(k)\hat{T}_q^{(k)}의 행렬 원소에 대해:

⟨j′,m′∣T^q(k)∣j,m⟩=⟨j,m;k,q∣j′,m′⟩⟨j′∥T^(k)∥j⟩2j′+1\langle j', m'|\hat{T}_q^{(k)}|j, m\rangle = \langle j, m; k, q|j', m'\rangle \frac{\langle j' \| \hat{T}^{(k)} \| j \rangle}{\sqrt{2j'+1}}

여기서 ⟨j′∥T^(k)∥j⟩\langle j' \| \hat{T}^{(k)} \| j \rangle는 환산 행렬 원소(reduced matrix element)로, mm, m′m', qq에 무관하다. 이 정리는 선택 규칙과 상대적 전이 확률을 결정하는 데 핵심적이다.