각운동량 교환 관계 (Angular Momentum Commutation Relations)

1. 기본 교환 관계

법칙5.1각운동량 교환 관계

일반적인 각운동량 연산자 $\hat{\mathbf{J}} = (\hat{J}_x, \hat{J}_y, \hat{J}_z)$ 는 다음 기본 교환 관계를 만족한다:

[\hat{J}_i, \hat{J}_j] = i\hbar\epsilon_{ijk}\hat{J}_k

명시적으로:

[\hat{J}_x, \hat{J}_y] = i\hbar\hat{J}_z, \quad [\hat{J}_y, \hat{J}_z] = i\hbar\hat{J}_x, \quad [\hat{J}_z, \hat{J}_x] = i\hbar\hat{J}_y

또한 $\hat{J}^2 = \hat{J}_x^2 + \hat{J}_y^2 + \hat{J}_z^2$ 는 모든 성분과 교환한다:

[\hat{J}^2, \hat{J}_i] = 0, \quad i = x, y, z

이 교환 관계는 각운동량 대수(angular momentum algebra), 즉 리 대수 $\mathfrak{su}(2)$ 를 정의한다.

2. 교환 관계로부터의 스펙트럼 유도

유도교환 관계로부터 각운동량 스펙트럼 유도

사다리 연산자 $\hat{J}_{\pm} = \hat{J}_x \pm i\hat{J}_y$ 를 정의하면:

[\hat{J}_z, \hat{J}_{\pm}] = \pm\hbar\hat{J}_{\pm}, \quad [\hat{J}_+, \hat{J}_-] = 2\hbar\hat{J}_z

\hat{J}^2 = \hat{J}_-\hat{J}_+ + \hat{J}_z^2 + \hbar\hat{J}_z

$\hat{J}^2|j, m\rangle = \lambda|j, m\rangle$ , $\hat{J}_z|j, m\rangle = m\hbar|j, m\rangle$ 로 놓으면:

\hat{J}_z(\hat{J}_{\pm}|j, m\rangle) = (m \pm 1)\hbar(\hat{J}_{\pm}|j, m\rangle)

$m$ 의 상한이 존재: $\hat{J}_+|j, m_{\max}\rangle = 0$ (어떤 $m_{\max} = j$ 에서)

\hat{J}_-\hat{J}_+|j, j\rangle = 0 \implies (\lambda - j^2\hbar^2 - j\hbar^2) = 0 \implies \lambda = \hbar^2 j(j+1)

마찬가지로 하한: $\hat{J}_-|j, m_{\min}\rangle = 0$ (어떤 $m_{\min}$ 에서)

\lambda = \hbar^2 m_{\min}(m_{\min} - 1) \implies m_{\min} = -j

$j$ 에서 $-j$ 까지 정수 간격이므로: $2j = \text{음이 아닌 정수}$ , 즉:

j = 0, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \ldots

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3. 궤도 각운동량과 스핀의 교환 관계

참고서로 다른 자유도의 교환 관계

궤도 각운동량 $\hat{\mathbf{L}}$ 과 스핀 $\hat{\mathbf{S}}$ 는 서로 독립적인 자유도이므로:

[\hat{L}_i, \hat{S}_j] = 0 \quad \text{(모든 } i, j \text{에 대해)}

전체 각운동량 $\hat{\mathbf{J}} = \hat{\mathbf{L}} + \hat{\mathbf{S}}$ 도 각운동량 교환 관계를 만족한다:

[\hat{J}_i, \hat{J}_j] = i\hbar\epsilon_{ijk}\hat{J}_k

이는 $[\hat{L}_i, \hat{L}_j] = i\hbar\epsilon_{ijk}\hat{L}_k$ 와 $[\hat{S}_i, \hat{S}_j] = i\hbar\epsilon_{ijk}\hat{S}_k$ 및 $[\hat{L}_i, \hat{S}_j] = 0$ 으로부터 직접 확인된다.

4. 교환 관계의 물리적 의미

$[\hat{J}_x, \hat{J}_y] = i\hbar\hat{J}_z \neq 0$ 이므로, 일반화된 불확정성 원리에 의해:

\Delta J_x \cdot \Delta J_y \geq \frac{\hbar}{2}|\langle J_z\rangle|

이는 각운동량의 세 성분을 동시에 확정할 수 없음을 의미한다. 우리가 할 수 있는 최선은 $\hat{J}^2$ 와 $\hat{J}_z$ (또는 임의의 한 성분)를 동시에 확정하는 것이다.

예제최대 $m$ 상태에서의 각운동량 벡터

$|j, m = j\rangle$ 상태에서:

\langle J_z\rangle = j\hbar, \quad |\mathbf{J}| = \hbar\sqrt{j(j+1)}

각운동량 벡터와 $z$ -축 사이의 각도:

\cos\theta_{\min} = \frac{j}{\sqrt{j(j+1)}}

$j = 1$ 이면 $\theta_{\min} = \arccos(1/\sqrt{2}) = 45°$

$j = 100$ 이면 $\theta_{\min} = \arccos(100/\sqrt{10100}) \approx 5.7°$

$j \to \infty$ 이면 $\theta_{\min} \to 0$ : 고전적 극한에서 각운동량 벡터는 $z$ -축과 거의 평행해질 수 있다.

5. $\mathfrak{su}(2)$ 리 대수

각운동량 교환 관계는 리 대수 $\mathfrak{su}(2)$ 의 정의 관계이다. 수학적으로 $\mathfrak{su}(2) \cong \mathfrak{so}(3)$ (3차원 회전 대수)이며:

\hat{J}_i = i\hbar \frac{\partial}{\partial\alpha_i}\bigg|_{\alpha=0} \hat{R}(\alpha_i)

여기서 $\hat{R}(\alpha_i)$ 는 $i$ -축 주위의 각도 $\alpha_i$ 회전 연산자이다. 각운동량은 회전 대칭의 생성자(generator of rotations)이다.

유한 회전 연산자:

\hat{R}(\hat{\mathbf{n}}, \theta) = e^{-i\theta\hat{\mathbf{n}}\cdot\hat{\mathbf{J}}/\hbar}

스핀- $1/2$ 의 경우 $2\pi$ 회전에서 상태가 부호가 바뀐다:

\hat{R}(\hat{\mathbf{n}}, 2\pi)|s = 1/2, m_s\rangle = -|s = 1/2, m_s\rangle