시간 비의존 섭동론 (Time-Independent Perturbation Theory)

1. 기본 설정

정의6.1섭동론의 기본 구조

해밀토니안을 정확히 풀 수 있는 부분과 작은 섭동으로 나눈다:

\hat{H} = \hat{H}^{(0)} + \lambda\hat{H}'

여기서:

비섭동 문제의 해: $\hat{H}^{(0)}|n^{(0)}\rangle = E_n^{(0)}|n^{(0)}\rangle$

에너지와 상태를 $\lambda$ 의 멱급수로 전개한다:

E_n = E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)} + \lambda^2 E_n^{(2)} + \cdots

|n\rangle = |n^{(0)}\rangle + \lambda|n^{(1)}\rangle + \lambda^2|n^{(2)}\rangle + \cdots

정의6.2비축퇴 섭동론의 결과

1차 에너지 보정:

E_n^{(1)} = \langle n^{(0)}|\hat{H}'|n^{(0)}\rangle = H'_{nn}

1차 파동함수 보정:

|n^{(1)}\rangle = \sum_{m \neq n} \frac{H'_{mn}}{E_n^{(0)} - E_m^{(0)}} |m^{(0)}\rangle

2차 에너지 보정:

E_n^{(2)} = \sum_{m \neq n} \frac{|H'_{mn}|^2}{E_n^{(0)} - E_m^{(0)}}

여기서 $H'_{mn} = \langle m^{(0)}|\hat{H}'|n^{(0)}\rangle$ 이다.

참고2차 보정의 부호

기저 상태 ( $n = 0$ )의 2차 에너지 보정:

E_0^{(2)} = \sum_{m \neq 0} \frac{|H'_{m0}|^2}{E_0^{(0)} - E_m^{(0)}} < 0

분모가 항상 음수이므로 ( $E_m^{(0)} > E_0^{(0)}$ for $m \neq 0$ ), 기저 상태의 2차 보정은 항상 에너지를 낮춘다. 이는 변분 원리와 일관된다.

여기 상태의 경우, 분모의 부호가 일정하지 않으므로 2차 보정의 부호는 미리 알 수 없다.

섭동 전개가 유효하려면:

\left|\frac{H'_{mn}}{E_n^{(0)} - E_m^{(0)}}\right| \ll 1 \quad \text{(모든 } m \neq n \text{에 대해)}

이 조건이 깨지는 경우:

예제조화진동자에 대한 $\lambda x^4$ 섭동

$\hat{H}^{(0)} = \hbar\omega(\hat{a}_+\hat{a}_- + 1/2)$ 에 $\hat{H}' = \lambda x^4$ 를 섭동으로 가한다.

$x = \sqrt{\hbar/(2m\omega)}(\hat{a}_+ + \hat{a}_-)$ 이므로 $x^4$ 의 행렬 원소를 계산할 수 있다.

기저 상태의 1차 에너지 보정:

E_0^{(1)} = \langle 0|x^4|0\rangle = \frac{3\hbar^2}{4m^2\omega^2}

보정된 에너지:

E_0 \approx \frac{\hbar\omega}{2} + \frac{3\lambda\hbar^2}{4m^2\omega^2}

고차 섭동론의 대안으로, 변분법(variational method)과 결합할 수 있다. 시행 파동함수에 섭동 매개변수를 포함시키면:

E_{\text{var}} \leq E_{\text{exact}}

변분법은 기저 상태에 대해 엄격한 상한을 주며, 섭동론이 수렴하지 않는 경우에도 적용 가능하다.