시간 의존 섭동론 (Time-Dependent Perturbation Theory)

1. 기본 설정

정의6.4시간 의존 섭동론의 설정

시간에 의존하는 섭동이 가해진 해밀토니안:

\hat{H}(t) = \hat{H}^{(0)} + \hat{H}'(t)

$t < 0$ 에서 $\hat{H}' = 0$ 이고, 시스템은 비섭동 고유상태 $|i\rangle$ 에 있다. $t = 0$ 부터 섭동이 켜진다.

상태를 비섭동 고유상태로 전개한다:

|\Psi(t)\rangle = \sum_n c_n(t) e^{-iE_n^{(0)}t/\hbar} |n^{(0)}\rangle

초기 조건: $c_i(0) = 1$ , $c_n(0) = 0$ ( $n \neq i$ )

슈뢰딩거 방정식에 대입하면:

i\hbar\dot{c}_f(t) = \sum_n H'_{fn}(t) e^{i\omega_{fn}t} c_n(t)

여기서 $\omega_{fn} = (E_f^{(0)} - E_n^{(0)})/\hbar$ 이고 $H'_{fn} = \langle f^{(0)}|\hat{H}'|n^{(0)}\rangle$ 이다.

1차 근사: $c_n(t) \approx \delta_{ni}$ 를 우변에 대입:

c_f^{(1)}(t) = -\frac{i}{\hbar}\int_0^t H'_{fi}(t') e^{i\omega_{fi}t'} dt'

전이 확률:

P_{i \to f}(t) = |c_f^{(1)}(t)|^2 = \frac{1}{\hbar^2}\left|\int_0^t H'_{fi}(t')e^{i\omega_{fi}t'}dt'\right|^2

예제상수 섭동에 의한 전이

$t > 0$ 에서 $\hat{H}' = V$ (상수)인 경우:

c_f^{(1)}(t) = -\frac{V_{fi}}{\hbar}\frac{e^{i\omega_{fi}t} - 1}{\omega_{fi}} = -\frac{V_{fi}}{\hbar}e^{i\omega_{fi}t/2}\frac{2\sin(\omega_{fi}t/2)}{\omega_{fi}}

전이 확률:

P_{i \to f}(t) = \frac{|V_{fi}|^2}{\hbar^2}\frac{4\sin^2(\omega_{fi}t/2)}{\omega_{fi}^2}

이 함수는 $\omega_{fi} = 0$ (즉, $E_f = E_i$ ) 근처에 날카로운 피크를 가지며, $t \to \infty$ 에서:

\frac{\sin^2(\omega_{fi}t/2)}{\omega_{fi}^2/4} \to 2\pi t \, \delta(\omega_{fi})

따라서 장시간 극한에서 전이율(transition rate):

\Gamma_{i \to f} = \frac{2\pi}{\hbar}|V_{fi}|^2\delta(E_f - E_i)

이것이 페르미 황금률(Fermi's golden rule)이다.

정의6.5조화 섭동

$\hat{H}'(t) = Ve^{-i\omega t} + V^\dagger e^{i\omega t}$ 형태의 주기적 섭동에 대해:

1차 전이 진폭:

c_f^{(1)}(t) = -\frac{i}{\hbar}\left[V_{fi}\frac{e^{i(\omega_{fi}-\omega)t}-1}{\omega_{fi}-\omega} + V_{fi}^{\dagger}\frac{e^{i(\omega_{fi}+\omega)t}-1}{\omega_{fi}+\omega}\right]

흡수 ( $E_f > E_i$ ): $\omega_{fi} - \omega \approx 0$ 일 때 첫째 항이 지배적

P_{i \to f}^{\text{abs}} \approx \frac{|V_{fi}|^2}{\hbar^2}\frac{4\sin^2[(\omega_{fi}-\omega)t/2]}{(\omega_{fi}-\omega)^2}

방출 ( $E_f < E_i$ ): $\omega_{fi} + \omega \approx 0$ 일 때 둘째 항이 지배적

참고상호작용 표현

시간 의존 섭동론은 상호작용 표현(interaction picture)에서 가장 자연스럽게 정리된다:

|\Psi_I(t)\rangle = e^{i\hat{H}^{(0)}t/\hbar}|\Psi_S(t)\rangle

\hat{H}'_I(t) = e^{i\hat{H}^{(0)}t/\hbar}\hat{H}'_S(t)e^{-i\hat{H}^{(0)}t/\hbar}

운동 방정식:

i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\Psi_I(t)\rangle = \hat{H}'_I(t)|\Psi_I(t)\rangle

형식적 해 (다이슨 급수, Dyson series):

|\Psi_I(t)\rangle = \hat{\mathcal{T}}\exp\left[-\frac{i}{\hbar}\int_0^t \hat{H}'_I(t')dt'\right]|\Psi_I(0)\rangle

여기서 $\hat{\mathcal{T}}$ 는 시간 순서 곱(time-ordering operator)이다.

시간 의존 문제의 두 가지 극한적 경우:

아디아바틱 근사 (섭동이 매우 천천히 변할 때): 계는 순간 고유상태에 머무른다 (아디아바틱 정리).

급격한 근사 (섭동이 매우 빠르게 변할 때): 파동함수는 변하지 않고, 해밀토니안만 갑자기 바뀐다.

예제급격한 근사의 예

무한 사각 우물의 폭이 $a$ 에서 갑자기 $2a$ 로 넓어진 경우, 상태는 여전히 원래의 기저 상태 $\psi_1^{(a)}(x)$ 이지만, 이를 새로운 고유함수 $\psi_n^{(2a)}(x)$ 로 전개하면:

c_n = \int_0^{2a}\psi_n^{(2a)*}(x)\psi_1^{(a)}(x)dx

기저 상태에 남아 있을 확률 $|c_1|^2 < 1$ 이다.