페르미 황금률 (Fermi's Golden Rule)

1. 법칙의 진술

법칙6.1페르미 황금률

상수 섭동 $\hat{H}'$ 에 의한 초기 상태 $|i\rangle$ 에서 최종 상태의 연속 스펙트럼으로의 전이율(transition rate)은:

\Gamma_{i \to f} = \frac{2\pi}{\hbar}|H'_{fi}|^2\rho(E_f)

여기서:

주기적 섭동 $\hat{H}'(t) = Ve^{-i\omega t} + V^\dagger e^{i\omega t}$ 의 경우:

\Gamma_{i \to f} = \frac{2\pi}{\hbar}|V_{fi}|^2\rho(E_f)\bigg|_{E_f = E_i + \hbar\omega}

여기서 $E_f = E_i + \hbar\omega$ (흡수) 또는 $E_f = E_i - \hbar\omega$ (방출)이다.

유도페르미 황금률 유도

상수 섭동에 의한 전이 확률:

P_{i \to f}(t) = \frac{|H'_{fi}|^2}{\hbar^2}\frac{4\sin^2(\omega_{fi}t/2)}{\omega_{fi}^2}

연속 스펙트럼의 최종 상태에 대해 합산한다:

P_{i \to \text{cont}}(t) = \int P_{i \to f}(t) \, \rho(E_f) \, dE_f

$\omega_{fi} = (E_f - E_i)/\hbar$ 로 치환하고, $E_f$ 에 대한 적분에서 피크가 날카로운 함수의 성질을 이용하면:

\int_{-\infty}^{\infty}\frac{4\sin^2(\omega t/2)}{\omega^2}d\omega = 2\pi t

따라서:

P_{i \to \text{cont}}(t) = \frac{2\pi}{\hbar}|H'_{fi}|^2\rho(E_i) \cdot t

전이율:

\boxed{\Gamma = \frac{dP}{dt} = \frac{2\pi}{\hbar}|H'_{fi}|^2\rho(E_i)}

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참고유효 조건

페르미 황금률이 유효하려면:

1차 섭동론의 유효성: $P_{i \to f} \ll 1$ , 즉 $\Gamma \cdot t \ll 1$
연속 스펙트럼: 최종 상태가 연속적이어야 한다 (또는 에너지 분해능보다 조밀한 이산 스펙트럼)
충분히 긴 시간: $t \gg \hbar/\Delta E$ ( $\Delta E$ : 최종 상태의 에너지 폭). 그래야 $\sin^2$ 함수가 $\delta$ -함수로 근사된다.
충분히 짧은 시간: 초기 상태의 고갈이 무시 가능해야 한다.

조건 3과 4가 동시에 만족되는 시간 영역이 존재해야 한다.

예제수소 원자의 자발 방출률

전기 쌍극자 근사에서 $2p \to 1s$ 전이의 자발 방출률:

\Gamma = \frac{e^2\omega^3}{3\pi\epsilon_0 m_e c^3}|\langle 1s|\hat{\mathbf{r}}|2p\rangle|^2

쌍극자 행렬 원소를 계산하면:

|\langle 1s|\hat{\mathbf{r}}|2p\rangle|^2 = \frac{2^{15}}{3^{10}}a_0^2

전이 에너지 $\hbar\omega = 10.2$ eV에 대해:

\Gamma \approx 6.3 \times 10^8 \text{ s}^{-1}

수명: $\tau = 1/\Gamma \approx 1.6$ ns

이는 실험값과 잘 일치한다.

페르미 황금률에서 전이율은 행렬 원소 $|H'_{fi}|^2$ 에 비례하므로, 행렬 원소가 0인 전이는 금지(forbidden)된다.

전기 쌍극자 전이의 선택 규칙:

\Delta\ell = \pm 1, \quad \Delta m = 0, \pm 1

이 규칙을 만족하지 않는 전이는 전기 쌍극자 근사에서는 금지되지만, 자기 쌍극자, 전기 사중극자 등 고차 과정을 통해 (매우 낮은 확률로) 일어날 수 있다.