산란 단면적 (Scattering Cross Section)

1. 산란 문제의 설정

정의7.1산란 문제

입사 입자가 표적 포텐셜 $V(\mathbf{r})$ 에 의해 산란되는 문제를 고려한다. 포텐셜은 유한한 범위를 가진다고 가정한다: $V(r) \to 0$ as $r \to \infty$ .

점근적 파동함수 ( $r \to \infty$ ):

\psi(\mathbf{r}) \sim A\left[e^{ikz} + f(\theta, \phi)\frac{e^{ikr}}{r}\right]

여기서:

정의7.2미분 산란 단면적

미분 산란 단면적(differential cross section) $d\sigma/d\Omega$ 는 단위 입사 플럭스당, 단위 입체각당 산란되는 입자 수이다:

\frac{d\sigma}{d\Omega} = |f(\theta, \phi)|^2

전체 산란 단면적(total cross section):

\sigma_{\text{tot}} = \int \frac{d\sigma}{d\Omega} \, d\Omega = \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi} |f(\theta, \phi)|^2 \sin\theta \, d\theta \, d\phi

산란 단면적은 넓이의 차원 ( $\text{m}^2$ )을 가지며, 물리적으로 "유효 표적 면적"을 나타낸다.

참고산란 단면적의 유도

입사파의 확률 흐름 밀도:

j_{\text{inc}} = \frac{\hbar k}{m}|A|^2

산란파의 확률 흐름은 지름 방향으로:

j_{\text{sc}} = \frac{\hbar k}{m}|A|^2\frac{|f(\theta,\phi)|^2}{r^2}

입체각 $d\Omega$ 방향으로 면적 원소 $r^2 d\Omega$ 를 통과하는 산란 플럭스:

dN_{\text{sc}} = j_{\text{sc}} \cdot r^2 d\Omega = j_{\text{inc}} |f|^2 d\Omega

따라서:

\frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{dN_{\text{sc}}}{j_{\text{inc}} \, d\Omega} = |f(\theta, \phi)|^2

산란 문제를 적분 방정식으로 정리하면:

|\psi\rangle = |\phi\rangle + \hat{G}_0^{(+)}(E)\hat{V}|\psi\rangle

여기서 $|\phi\rangle = |k\rangle$ 는 입사 평면파, $\hat{G}_0^{(+)}(E) = (E - \hat{H}^{(0)} + i\epsilon)^{-1}$ 는 자유 입자 그린 함수이다.

위치 표현에서:

\psi(\mathbf{r}) = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} - \frac{m}{2\pi\hbar^2}\int\frac{e^{ik|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}V(\mathbf{r}')\psi(\mathbf{r}')d^3r'

예제경구형(hard sphere) 산란

반지름 $a$ 인 경구형 포텐셜의 경우 ( $V = \infty$ for $r < a$ , $V = 0$ for $r > a$ ):

저에너지 극한 ( $ka \ll 1$ , $s$ -파 산란 지배):

f \approx -a, \quad \frac{d\sigma}{d\Omega} \approx a^2 \quad \text{(등방적)}

\sigma_{\text{tot}} = 4\pi a^2

이는 기하학적 단면적 $\pi a^2$ 의 4배이다. 고전적으로는 $\pi a^2$ 만 기대되지만, 양자역학적 회절 효과가 전방 산란에 추가적인 기여를 한다.

고에너지 극한 ( $ka \gg 1$ ):

\sigma_{\text{tot}} = 2\pi a^2

이는 기하학적 단면적의 2배이다 (그림자 산란, shadow scattering 또는 광학적 정리에 의한 결과).

핵물리학과 입자물리학에서 산란 단면적의 단위:

1 \text{ barn} = 10^{-28} \text{ m}^2 = 10^{-24} \text{ cm}^2 = 100 \text{ fm}^2

핵 크기 $\sim$ 수 fm이므로, 핵 산란의 전형적 단면적은 $\sim$ 수십 mb ~ 수 barn이다.

산란 과정을 기술하는 $S$ -행렬은 입사 상태와 최종 상태를 연결한다:

S_{fi} = \delta_{fi} - 2\pi i \, \delta(E_f - E_i) \, T_{fi}

여기서 $T_{fi}$ 는 전이 행렬의 원소이며, 산란 진폭과 관련된다:

f(\theta, \phi) = -\frac{m}{2\pi\hbar^2}\langle\mathbf{k}'|\hat{T}|\mathbf{k}\rangle

$S$ -행렬의 유니터리성 $S^\dagger S = I$ 은 확률 보존을 보장하며, 광학 정리의 기초가 된다.