보른 근사 (Born Approximation)

1. 1차 보른 근사

정의7.31차 보른 근사

리프만-슈윙거 방정식에서 산란파 내부의 $\psi(\mathbf{r}')$ 를 입사 평면파 $e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}'}$ 로 근사하면:

f^{(1)}(\theta, \phi) = -\frac{m}{2\pi\hbar^2}\int e^{-i\mathbf{k}'\cdot\mathbf{r}'}V(\mathbf{r}')e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}'}d^3r'

운동량 전달 $\mathbf{q} = \mathbf{k} - \mathbf{k}'$ 를 정의하면:

f^{(1)}(\mathbf{q}) = -\frac{m}{2\pi\hbar^2}\int V(\mathbf{r}')e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}'}d^3r' = -\frac{m}{2\pi\hbar^2}\tilde{V}(\mathbf{q})

즉, 보른 근사에서 산란 진폭은 포텐셜의 푸리에 변환에 비례한다.

탄성 산란에서 $|\mathbf{k}| = |\mathbf{k}'| = k$ 이므로:

q = |\mathbf{q}| = 2k\sin\frac{\theta}{2}

$V(\mathbf{r}) = V(r)$ 인 경우, 각도 적분을 수행하면:

f^{(1)}(\theta) = -\frac{2m}{\hbar^2 q}\int_0^{\infty} r V(r) \sin(qr) \, dr

예제유카와 포텐셜의 보른 근사

유카와(Yukawa) 포텐셜: $V(r) = V_0 \frac{e^{-\mu r}}{\mu r}$

보른 근사 산란 진폭:

f^{(1)}(\theta) = -\frac{2mV_0}{\hbar^2 \mu}\frac{1}{q^2 + \mu^2} = -\frac{2mV_0}{\hbar^2\mu}\frac{1}{4k^2\sin^2(\theta/2) + \mu^2}

미분 산란 단면적:

\frac{d\sigma}{d\Omega} = \left(\frac{2mV_0}{\hbar^2\mu}\right)^2 \frac{1}{(4k^2\sin^2(\theta/2) + \mu^2)^2}

특수한 경우:

$\mu \to 0$ (쿨롱 극한): 러더퍼드 공식 $d\sigma/d\Omega = (mV_0/(2\hbar^2 k^2))^2 \csc^4(\theta/2)$
저에너지 극한 ( $k \to 0$ ): 등방적 산란, $\sigma \approx 4\pi(2mV_0/(\hbar^2\mu^3))^2$

참고보른 근사의 유효성

보른 근사가 유효하려면, 산란 포텐셜에 의한 파동함수의 변형이 작아야 한다. 정량적 기준:

저에너지 ( $ka \ll 1$ , $a$ 는 포텐셜의 범위):

\frac{m|V_0|a^2}{\hbar^2} \ll 1

포텐셜 에너지가 운동 에너지의 양자역학적 척도보다 작아야 한다.

고에너지 ( $ka \gg 1$ ):

\frac{m|V_0|a}{\hbar^2 k} = \frac{|V_0|}{E}\frac{ka}{2} \ll 1

고에너지에서는 $ka \gg 1$ 이지만 $|V_0|/E \ll 1$ 이면 보른 근사가 유효하다. 따라서 고에너지 산란에서 보른 근사는 일반적으로 잘 작동한다.

정의7.4보른 급수

리프만-슈윙거 방정식을 반복 대입하면 보른 급수(Born series)를 얻는다:

f = f^{(1)} + f^{(2)} + f^{(3)} + \cdots

2차 보른 근사:

f^{(2)} = \left(\frac{m}{2\pi\hbar^2}\right)^2 \int\int \frac{e^{-i\mathbf{k}'\cdot\mathbf{r}}V(\mathbf{r})e^{ik|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}V(\mathbf{r}')e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}'} d^3r \, d^3r'

이는 입자가 포텐셜에 의해 두 번 산란되는 과정에 대응한다. 파인만 도형의 관점에서, 1차 보른 근사는 단일 산란, 2차는 이중 산란에 해당한다.

예제핵의 전하 분포와 형태 인자

확장된 전하 분포 $\rho(\mathbf{r})$ 에 의한 포텐셜에 대해, 보른 근사의 산란 단면적은:

\frac{d\sigma}{d\Omega} = \left(\frac{d\sigma}{d\Omega}\right)_{\text{point}} |F(\mathbf{q})|^2

여기서 형태 인자(form factor) $F(\mathbf{q})$ 는 전하 분포의 푸리에 변환:

F(\mathbf{q}) = \frac{1}{Ze}\int \rho(\mathbf{r})e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{r}}d^3r

$F(0) = 1$ 이고, $q$ 가 커지면 $|F|$ 가 감소한다. 형태 인자의 $q$ -의존성을 측정하면 전하 분포의 공간 구조를 추출할 수 있다.

균일한 구형 분포 ( $R$ = 핵 반지름):

F(q) = 3\frac{\sin(qR) - qR\cos(qR)}{(qR)^3}

$qR$ 의 영점에서 산란 단면적이 0이 되는 회절 최소(diffraction minima)가 나타난다.