부분파 분석 (Partial Wave Analysis)

1. 부분파 전개

구면 대칭 포텐셜 $V(r)$ 에 의한 산란에서, 산란 진폭을 각운동량 양자수 $\ell$ 로 분해한다.

정의7.5부분파 전개

산란 진폭의 부분파 전개(partial wave expansion):

f(\theta) = \sum_{\ell=0}^{\infty}(2\ell+1)f_\ell P_\ell(\cos\theta)

여기서 $f_\ell$ 은 $\ell$ 번째 부분파 진폭(partial wave amplitude), $P_\ell$ 은 르장드르 다항식이다.

전체 산란 단면적:

\sigma_{\text{tot}} = 4\pi\sum_{\ell=0}^{\infty}(2\ell+1)|f_\ell|^2

정의7.6위상 이동

$S$ -행렬의 부분파 원소는 유니터리성에 의해:

S_\ell = e^{2i\delta_\ell}

여기서 $\delta_\ell$ 은 위상 이동(phase shift)이다. 부분파 진폭과의 관계:

f_\ell = \frac{e^{2i\delta_\ell} - 1}{2ik} = \frac{e^{i\delta_\ell}\sin\delta_\ell}{k}

전체 산란 단면적:

\sigma_{\text{tot}} = \frac{4\pi}{k^2}\sum_{\ell=0}^{\infty}(2\ell+1)\sin^2\delta_\ell

참고위상 이동의 해석

자유 입자의 지름 파동함수는 $r \to \infty$ 에서:

R_\ell^{(0)}(r) \sim \frac{\sin(kr - \ell\pi/2)}{kr}

포텐셜이 있으면:

R_\ell(r) \sim \frac{\sin(kr - \ell\pi/2 + \delta_\ell)}{kr}

위상 이동 $\delta_\ell$ 은 포텐셜에 의한 파동함수의 위상 변이이다:

저에너지 ( $ka \ll 1$ , $a$ 는 포텐셜의 범위) 극한에서 $\ell \geq 1$ 부분파의 기여가 억제되어, $s$ -파 ( $\ell = 0$ ) 산란이 지배한다.

정의7.7산란 길이

저에너지 극한에서 $s$ -파 위상 이동:

k\cot\delta_0 \approx -\frac{1}{a_s} + \frac{1}{2}r_e k^2 + \cdots

여기서:

$k \to 0$ 극한:

\sigma_{\text{tot}} \approx 4\pi a_s^2

예제경구형 포텐셜의 위상 이동

반지름 $a$ 인 경구형( $V = \infty$ for $r < a$ )의 $s$ -파 위상 이동:

경계 조건 $\psi(a) = 0$ 에서:

\delta_0 = -ka

저에너지 극한 ( $ka \ll 1$ ): $\delta_0 \approx -ka$ , 산란 길이 $a_s = a$

\sigma_{\text{tot}} \approx 4\pi a^2

고에너지 극한에서는 많은 부분파가 기여하며, 총 단면적은 $2\pi a^2$ 에 접근한다.

정의7.8브라이트-위그너 공명

위상 이동이 $\pi/2$ 를 지날 때 부분파 단면적이 최대가 된다 ( $\sin^2\delta_\ell = 1$ ). 에너지 $E_r$ 근처에서:

f_\ell \approx \frac{\Gamma/2}{E_r - E - i\Gamma/2}

대응하는 부분파 단면적:

\sigma_\ell = \frac{4\pi(2\ell+1)}{k^2}\frac{(\Gamma/2)^2}{(E - E_r)^2 + (\Gamma/2)^2}

이것이 브라이트-위그너(Breit-Wigner) 공명 공식이다. $E_r$ 은 공명 에너지, $\Gamma$ 는 공명의 폭(width)으로 $\tau = \hbar/\Gamma$ 는 준안정 상태의 수명이다.

공명 최대값:

\sigma_\ell^{\max} = \frac{4\pi(2\ell+1)}{k_r^2}

이 값은 유니터리 한계(unitarity limit)이며, $S$ -행렬의 유니터리성에 의해 부분파 단면적이 가질 수 있는 최댓값이다.

충돌 매개변수 $b$ 와 각운동량의 관계: $L = pb = \hbar k b$ , 즉 $\ell \sim kb$

포텐셜의 범위가 $a$ 이면, $\ell > ka$ 인 부분파는 원심력 장벽에 의해 포텐셜에 도달하지 못하므로 $\delta_\ell \approx 0$ 이다. 따라서 유효 부분파의 수:

\ell_{\max} \sim ka

저에너지 ( $ka \ll 1$ ): $s$ -파만 기여, 고에너지 ( $ka \gg 1$ ): 많은 부분파가 기여.