광학 정리 (Optical Theorem)

1. 정리의 진술

법칙7.1광학 정리

전체 산란 단면적은 전방 산란 진폭의 허수 부분에 의해 결정된다:

\sigma_{\text{tot}} = \frac{4\pi}{k}\text{Im}[f(\theta = 0)]

여기서 $f(0)$ 은 전방 산란 진폭(forward scattering amplitude), $k$ 는 입사 파수이다.

이 정리는 확률 보존(유니터리성)의 직접적 귀결이다.

유도광학 정리의 유도 (부분파 분석으로부터)

부분파 전개에서 $P_\ell(1) = 1$ 이므로:

f(0) = \sum_{\ell=0}^{\infty}(2\ell+1)f_\ell

$f_\ell = (e^{2i\delta_\ell} - 1)/(2ik)$ 이므로:

\text{Im}[f_\ell] = \frac{\sin^2\delta_\ell}{k} + \frac{\sin\delta_\ell\cos\delta_\ell - \sin\delta_\ell\cos\delta_\ell}{...}

더 직접적으로 계산하면:

\text{Im}[f_\ell] = \text{Im}\left[\frac{e^{i\delta_\ell}\sin\delta_\ell}{k}\right] = \frac{\sin^2\delta_\ell}{k}

따라서:

\text{Im}[f(0)] = \sum_{\ell}(2\ell+1)\frac{\sin^2\delta_\ell}{k} = \frac{k}{4\pi}\sigma_{\text{tot}}

\boxed{\sigma_{\text{tot}} = \frac{4\pi}{k}\text{Im}[f(0)]}

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참고광학 정리의 물리적 의미

광학 정리의 물리적 의미는 입사파와 전방 산란파의 간섭에 있다:

이는 고전 광학에서 "그림자"의 형성 원리와 동일하다. 산란체 뒤의 그림자는 입사파와 전방 산란파의 파괴적 간섭에 의해 생긴다.

예제보른 근사에서의 검증

1차 보른 근사에서 $f^{(1)}$ 은 실수 (실수 포텐셜의 경우)이므로:

\text{Im}[f^{(1)}(0)] = 0

반면 1차 보른 근사의 전체 단면적은 0이 아니다:

\sigma^{(1)} = \int|f^{(1)}|^2 d\Omega \neq 0

이는 모순처럼 보이지만, 광학 정리는 정확한 산란 진폭에 대한 것이다. 보른 근사의 $f^{(1)}$ 만으로는 광학 정리가 성립하지 않으며, 2차 보른 근사 $f^{(2)}$ 의 허수 부분이 추가되어야 한다:

\text{Im}[f^{(2)}(0)] = \frac{k}{4\pi}\int|f^{(1)}|^2 d\Omega

이것이 정확히 $\sigma^{(1)}$ 과 일관되며, 광학 정리가 차수별로 성립함을 보여준다.

비탄성 산란(흡수가 있는 경우)에서 $S$ -행렬은 $|S_\ell| \leq 1$ 이며, $\eta_\ell = |S_\ell|$ 로 정의하면:

\sigma_{\text{el}} = \frac{\pi}{k^2}\sum_\ell (2\ell+1)|1 - \eta_\ell e^{2i\delta_\ell}|^2

\sigma_{\text{abs}} = \frac{\pi}{k^2}\sum_\ell (2\ell+1)(1 - \eta_\ell^2)

\sigma_{\text{tot}} = \sigma_{\text{el}} + \sigma_{\text{abs}} = \frac{4\pi}{k}\text{Im}[f(0)]

광학 정리는 비탄성 산란을 포함하는 전체 단면적에 대해서도 성립한다.

광학 정리와 산란 진폭의 해석적 성질을 결합하면, 고에너지에서 전체 단면적의 성장에 대한 한계를 얻을 수 있다. 프로아사르 한계(Froissart bound):

\sigma_{\text{tot}}(E) \leq C \ln^2(E/E_0)

전체 단면적은 에너지의 로그 제곱보다 빠르게 증가할 수 없다. 이는 유니터리성과 해석성의 결합된 결과이다.