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물리학 강의 노트

법칙완성

파울리 배타 원리 (Pauli Exclusion Principle)

1. 원리의 진술

법칙8.1파울리 배타 원리

두 개의 동일한 페르미온은 같은 양자 상태를 동시에 점유할 수 없다.

수학적으로: NN개의 동일 페르미온의 파동함수는 임의의 두 입자 교환에 대해 반대칭이다:

P^ijΨ=−Ψ(모든 i≠j에 대해)\hat{P}_{ij}\Psi = -\Psi \quad \text{(모든 } i \neq j \text{에 대해)}

따라서 두 입자가 같은 양자 상태 α\alpha를 가지면:

Ψ(…,αi,…,αj,…)=−Ψ(…,αj,…,αi,…)=−Ψ(…,αi,…,αj,…)\Psi(\ldots, \alpha_i, \ldots, \alpha_j, \ldots) = -\Psi(\ldots, \alpha_j, \ldots, \alpha_i, \ldots) = -\Psi(\ldots, \alpha_i, \ldots, \alpha_j, \ldots)

이므로 Ψ=0\Psi = 0이다.

2. 원리의 결과

파울리 배타 원리는 물질의 구조와 안정성을 결정하는 가장 근본적인 원리 중 하나이다.

참고파울리 배타 원리의 주요 결과
  1. 원자의 전자 배치: 각 원자 궤도에 최대 2개의 전자 (스핀 업/다운)만 들어갈 수 있다.
  2. 주기율표: 전자가 에너지 준위를 순차적으로 채움 (aufbau principle).
  3. 물질의 부피: 전자가 모두 기저 상태로 붕괴하지 못하므로, 물질이 유한한 부피를 가진다.
  4. 백색 왜성의 안정성: 전자의 축퇴 압력(degeneracy pressure)이 중력 붕괴를 막는다.
  5. 중성자별: 중성자의 축퇴 압력이 중력을 지탱한다.
  6. 금속의 전기 전도성: 페르미 에너지와 페르미면의 존재.

3. 자유 전자 기체와 페르미 에너지

정의8.7페르미 에너지

T=0T = 0에서 NN개의 자유 전자가 있는 금속의 경우, 파울리 배타 원리에 의해 전자들은 에너지가 낮은 상태부터 차례로 채워진다. 가장 높은 점유 에너지를 페르미 에너지(Fermi energy)라 한다:

EF=ℏ22m(3π2NV)2/3=ℏ2kF22mE_F = \frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{3\pi^2 N}{V}\right)^{2/3} = \frac{\hbar^2 k_F^2}{2m}

여기서 kF=(3π2n)1/3k_F = (3\pi^2 n)^{1/3}은 페르미 파수, n=N/Vn = N/V는 전자 밀도이다.

예제구리의 페르미 에너지

구리의 자유 전자 밀도: n≈8.5×1028n \approx 8.5 \times 10^{28} m−3^{-3}

페르미 에너지:

EF=ℏ22me(3π2n)2/3≈7.0 eVE_F = \frac{\hbar^2}{2m_e}(3\pi^2 n)^{2/3} \approx 7.0 \text{ eV}

대응하는 페르미 온도: TF=EF/kB≈81,000T_F = E_F / k_B \approx 81{,}000 K

실온 (T≈300T \approx 300 K)에서 T/TF≈0.004≪1T / T_F \approx 0.004 \ll 1이므로, 전자 기체는 강한 축퇴(strongly degenerate) 상태이다. 배타 원리가 열적 요동보다 훨씬 더 중요한 역할을 한다.

4. 축퇴 압력과 별의 안정성

파울리 배타 원리에 의한 축퇴 압력(degeneracy pressure):

P=23EtotV=(3π2)2/3ℏ25mn5/3P = \frac{2}{3}\frac{E_{\text{tot}}}{V} = \frac{(3\pi^2)^{2/3}\hbar^2}{5m}n^{5/3}

이 압력은 온도에 무관하며, 밀도가 높을수록 커진다.

참고찬드라세카르 한계

백색 왜성에서 전자 축퇴 압력이 중력을 지탱한다. 그러나 별의 질량이 찬드라세카르 한계(Chandrasekhar limit)를 넘으면:

MCh≈1.4M⊙M_{\text{Ch}} \approx 1.4 M_\odot

전자의 상대론적 효과에 의해 축퇴 압력이 더 이상 중력을 지탱할 수 없다. 이 경우 별은 중성자별이나 블랙홀로 붕괴한다.

이 결과는 파울리 배타 원리와 특수 상대론의 결합에서 나온 것으로, MCh∼(ℏc/G)3/2/mp2M_{\text{Ch}} \sim (\hbar c/G)^{3/2} / m_p^2로 기본 상수만으로 표현된다.

5. 일반화: 페르미-디랙 분포

유한 온도에서 페르미온의 평균 점유수는 페르미-디랙 분포를 따른다:

⟨ni⟩=1e(Ei−μ)/(kBT)+1\langle n_i \rangle = \frac{1}{e^{(E_i - \mu)/(k_B T)} + 1}

T=0T = 0 극한:

⟨ni⟩={1Ei<EF0Ei>EF\langle n_i \rangle = \begin{cases} 1 & E_i < E_F \\ 0 & E_i > E_F \end{cases}

파울리 배타 원리에 의해 ⟨ni⟩≤1\langle n_i \rangle \leq 1이며, 이는 분모의 +1+1에 반영되어 있다. 보손의 경우(보즈-아인슈타인 분포) 분모가 −1-1이며, ⟨ni⟩\langle n_i \rangle에 상한이 없다.

6. 스핀-통계 정리

정의8.8스핀-통계 정리

스핀-통계 정리(spin-statistics theorem): 상대론적 양자장론에서 다음이 증명된다:

  • 정수 스핀 입자는 보즈-아인슈타인 통계를 따른다 (보손).
  • 반정수 스핀 입자는 페르미-디랙 통계를 따른다 (페르미온).

이 정리의 증명에는 로렌츠 불변성, 인과율(causality), 에너지의 양의 정부호성 등이 핵심적으로 사용된다. 비상대론적 양자역학에서는 이를 증명할 수 없으며, 공준으로 받아들여야 한다.