브라베 격자 (Bravais Lattice)

1. 격자의 정의

결정(crystal)은 원자 또는 원자 집단이 공간에서 주기적으로 배열된 구조이다. 이 주기성을 수학적으로 기술하기 위해 격자(lattice)의 개념을 도입한다.

정의1.1브라베 격자

브라베 격자(Bravais lattice)란, 임의의 격자점에서 바라본 주위 환경이 모든 격자점에서 동일하게 보이는 이산적 점들의 무한 배열이다. 3차원 공간에서 브라베 격자의 모든 점은 다음과 같이 표현된다:

\mathbf{R} = n_1 \mathbf{a}_1 + n_2 \mathbf{a}_2 + n_3 \mathbf{a}_3, \quad n_1, n_2, n_3 \in \mathbb{Z}

여기서 $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3$ 는 기본 병진 벡터(primitive translation vectors)이며, 이들은 한 평면 위에 놓이지 않는(linearly independent) 벡터들이다.

중요한 것은 격자 자체는 수학적 점들의 집합이며, 실제 원자의 배치는 기저(basis)로 기술된다는 점이다. 결정 구조는 다음과 같이 표현할 수 있다:

\text{결정 구조} = \text{브라베 격자} + \text{기저 (basis)}

2. 기본 셀과 단위 셀

정의1.2기본 셀

기본 셀(primitive cell)이란, 격자 전체를 빈틈없이 겹침 없이 채울 수 있는 최소 부피의 셀로서, 정확히 하나의 격자점을 포함한다. 기본 셀의 부피는 다음과 같다:

V_{\text{prim}} = |\mathbf{a}_1 \cdot (\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3)|

기본 셀의 선택은 유일하지 않다. 그러나 어떤 기본 셀을 선택하더라도 그 부피는 항상 동일하다. 실용적으로는 격자의 대칭성을 잘 반영하는 관례적 단위 셀(conventional unit cell)을 사용하는 경우가 많다. 예를 들어, 체심입방(BCC) 격자의 관례적 단위 셀은 정육면체이며 2개의 격자점을 포함한다.

정의1.3비그너-자이츠 셀

비그너-자이츠 셀(Wigner-Seitz cell)은 한 격자점에서 가장 가까운 영역으로 정의되는 기본 셀이다. 구성 방법은 다음과 같다:

한 격자점에서 인접한 모든 격자점까지의 선분을 긋는다.
각 선분의 수직 이등분면을 구한다.
이 수직 이등분면들로 둘러싸인 가장 작은 영역이 비그너-자이츠 셀이다.

비그너-자이츠 셀은 격자의 모든 점대칭(point symmetry)을 자연스럽게 반영하므로, 물리적으로 매우 유용한 기본 셀이다.

3. 3차원 브라베 격자의 분류

3차원 공간에서 존재할 수 있는 브라베 격자는 정확히 14종류이다. 이들은 7개의 결정계(crystal system)로 분류된다.

| 결정계 | 격자 매개변수 조건 | 브라베 격자 수 | |--------|-------------------|---------------| | 삼사정계 (Triclinic) | $a \neq b \neq c$ , $\alpha \neq \beta \neq \gamma$ | 1 | | 단사정계 (Monoclinic) | $a \neq b \neq c$ , $\alpha = \gamma = 90° \neq \beta$ | 2 | | 사방정계 (Orthorhombic) | $a \neq b \neq c$ , $\alpha = \beta = \gamma = 90°$ | 4 | | 정방정계 (Tetragonal) | $a = b \neq c$ , $\alpha = \beta = \gamma = 90°$ | 2 | | 입방정계 (Cubic) | $a = b = c$ , $\alpha = \beta = \gamma = 90°$ | 3 | | 삼방정계 (Trigonal) | $a = b = c$ , $\alpha = \beta = \gamma \neq 90°$ | 1 | | 육방정계 (Hexagonal) | $a = b \neq c$ , $\alpha = \beta = 90°$ , $\gamma = 120°$ | 1 |

4. 입방 격자의 세 유형

고체물리학에서 가장 중요한 격자는 입방정계에 속하는 세 가지이다.

단순입방 (Simple Cubic, SC): 기본 병진 벡터는 $\mathbf{a}_1 = a\hat{x}$ , $\mathbf{a}_2 = a\hat{y}$ , $\mathbf{a}_3 = a\hat{z}$ 이며, 단위 셀당 격자점 수는 1이다. 배위수(coordination number)는 6이고, 충전율(packing fraction)은 다음과 같다:

f_{\text{SC}} = \frac{\pi}{6} \approx 0.524

체심입방 (Body-Centered Cubic, BCC): 기본 병진 벡터를 다음과 같이 선택할 수 있다:

\mathbf{a}_1 = \frac{a}{2}(-\hat{x} + \hat{y} + \hat{z}), \quad \mathbf{a}_2 = \frac{a}{2}(\hat{x} - \hat{y} + \hat{z}), \quad \mathbf{a}_3 = \frac{a}{2}(\hat{x} + \hat{y} - \hat{z})

배위수는 8이며, 충전율은 $f_{\text{BCC}} = \frac{\pi\sqrt{3}}{8} \approx 0.680$ 이다. Na, K, Fe, Cr 등이 BCC 구조를 갖는다.

면심입방 (Face-Centered Cubic, FCC): 기본 병진 벡터는 다음과 같다:

\mathbf{a}_1 = \frac{a}{2}(\hat{y} + \hat{z}), \quad \mathbf{a}_2 = \frac{a}{2}(\hat{x} + \hat{z}), \quad \mathbf{a}_3 = \frac{a}{2}(\hat{x} + \hat{y})

배위수는 12이고, 충전율은 $f_{\text{FCC}} = \frac{\pi}{3\sqrt{2}} \approx 0.740$ 으로, 동일 크기의 구를 가장 밀하게 채울 수 있는 배열 중 하나이다. Al, Cu, Au, Ag 등이 FCC 구조를 갖는다.

5. 대칭 연산과 점군

결정 격자의 대칭성은 점군(point group)과 공간군(space group)으로 체계적으로 기술된다.

정의1.4점군

점군(point group)이란, 격자의 한 점을 고정시킨 채 격자를 자기 자신으로 변환하는 모든 대칭 연산의 집합이다. 여기에는 다음 연산들이 포함될 수 있다:

$n$ -겹 회전 ( $C_n$ ): $2\pi/n$ 각도의 회전
반전 ( $i$ ): $\mathbf{r} \to -\mathbf{r}$
거울 반사 ( $\sigma$ ): 특정 평면에 대한 반사
회전-반전 ( $S_n$ ): 회전과 반전의 결합

3차원에서 결정에 허용되는 회전 대칭은 $n = 1, 2, 3, 4, 6$ 뿐이다. 이를 결정학적 제약(crystallographic restriction)이라 한다. $n=5$ 나 $n\geq 7$ 인 회전 대칭은 병진 대칭과 양립할 수 없다.

참고준결정

1984년 Dan Shechtman이 발견한 준결정(quasicrystal)은 5겹 회전 대칭을 보이면서도 날카로운 회절 무늬를 나타내는 물질이다. 이는 주기적 격자 구조 없이도 장거리 질서(long-range order)가 존재할 수 있음을 보여준 획기적 발견이었다 (2011년 노벨 화학상).

6. 밀러 지수

결정면과 방향을 체계적으로 표기하기 위해 밀러 지수(Miller indices)를 사용한다.

정의1.5밀러 지수

결정면의 밀러 지수 $(hkl)$ 은 다음 절차로 결정된다:

결정면이 기본 축 $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3$ 과 만나는 절편을 격자 상수 단위로 구한다: $(p, q, r)$
역수를 취한다: $(1/p, 1/q, 1/r)$
최소 정수비로 환산한다: $(h, k, l)$

면이 어떤 축에 평행하면 해당 절편은 $\infty$ 이므로 밀러 지수는 0이 된다.

밀러 지수와 역격자 벡터 사이에는 깊은 관련이 있다. $(hkl)$ 면에 수직인 역격자 벡터는 다음과 같다:

\mathbf{G}_{hkl} = h\mathbf{b}_1 + k\mathbf{b}_2 + l\mathbf{b}_3

연속한 $(hkl)$ 면 사이의 간격 $d_{hkl}$ 은 입방 격자의 경우 다음과 같이 주어진다:

d_{hkl} = \frac{a}{\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}}

예제BCC 격자의 기본 셀 부피 계산

BCC 격자의 기본 병진 벡터 $\mathbf{a}_1 = \frac{a}{2}(-\hat{x}+\hat{y}+\hat{z})$ , $\mathbf{a}_2 = \frac{a}{2}(\hat{x}-\hat{y}+\hat{z})$ , $\mathbf{a}_3 = \frac{a}{2}(\hat{x}+\hat{y}-\hat{z})$ 에 대해:

V_{\text{prim}} = |\mathbf{a}_1 \cdot (\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3)| = \left|\frac{a}{2}\right|^3 \begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix}

행렬식을 계산하면:

\begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -1(1-1) -1(-1-1) +1(1+1) = 0 + 2 + 2 = 4

따라서:

V_{\text{prim}} = \frac{a^3}{8} \times 4 = \frac{a^3}{2}

이는 관례적 단위 셀 부피 $a^3$ 의 절반이며, BCC 관례적 셀에 격자점이 2개 포함된다는 사실과 일치한다.