브래그 법칙 (Bragg's Law)

1. 역사적 배경

1912년 막스 폰 라우에(Max von Laue)는 결정에 의한 X선 회절 실험을 제안하여 결정의 주기 구조와 X선의 파동 성질을 동시에 입증하였다. 이듬해 윌리엄 로런스 브래그(W. L. Bragg)는 이 현상을 결정면에 의한 반사로 간단하게 해석하는 법칙을 제시하였다.

2. 브래그 법칙의 진술

법칙1.1브래그 법칙

파장 $\lambda$ 인 X선이 면간 거리 $d$ 인 결정면에 입사각 $\theta$ (결정면과 이루는 각도, 법선과의 각도가 아님)로 입사할 때, 보강 간섭이 일어나는 조건은 다음과 같다:

2d\sin\theta = n\lambda, \quad n = 1, 2, 3, \dots

여기서 $n$ 은 회절 차수(order of diffraction)이다.

3. 브래그 법칙의 유도

유도경로차에 의한 유도

밀러 지수 $(hkl)$ 인 평행한 결정면들이 면간 거리 $d$ 로 배열되어 있다고 하자. X선이 이 결정면에 각도 $\theta$ 로 입사한다.

인접한 두 면에서 반사된 X선의 경로차를 구한다:

입사선이 첫 번째 면에서 반사되는 점을 $A$ , 두 번째 면에서 반사되는 점을 $B$ 라 하자.
$A$ 에서 두 번째 면까지의 수선의 발을 $C$ , $B$ 에서 첫 번째 면까지의 수선의 발을 $D$ 라 하자.
기하학적으로 $AB\sin\theta = d$ 이고, 두 번째 면의 반사에 의한 추가 경로는:

\Delta = CB + BD = AB\sin\theta + AB\sin\theta = 2d\sin\theta

보강 간섭 조건은 경로차가 파장의 정수배일 때이므로:

2d\sin\theta = n\lambda

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4. 라우에 조건과의 동치성

브래그 법칙은 라우에의 회절 조건과 물리적으로 완전히 동치이다.

유도브래그 법칙과 라우에 조건의 동치성

라우에 조건은 산란 벡터가 역격자 벡터와 같을 것을 요구한다:

\Delta\mathbf{k} = \mathbf{k}' - \mathbf{k} = \mathbf{G}

탄성 산란이므로 $|\mathbf{k}'| = |\mathbf{k}| = 2\pi/\lambda$ 이다. 라우에 조건의 양변을 제곱하면:

|\mathbf{k}'|^2 = |\mathbf{k} + \mathbf{G}|^2

|\mathbf{k}|^2 = |\mathbf{k}|^2 + 2\mathbf{k}\cdot\mathbf{G} + |\mathbf{G}|^2

따라서:

2\mathbf{k}\cdot\mathbf{G} = -|\mathbf{G}|^2

$\mathbf{G} = n\mathbf{G}_0$ (여기서 $\mathbf{G}_0$ 는 $(hkl)$ 방향의 최소 역격자 벡터)로 놓으면, $|\mathbf{G}_0| = 2\pi/d$ 이고 $\mathbf{k}\cdot\hat{G} = -(2\pi/\lambda)\sin\theta$ 이므로:

2\cdot\frac{2\pi}{\lambda}\sin\theta \cdot n\cdot\frac{2\pi}{d} \cdot \frac{1}{|\mathbf{G}|} \cdot |\mathbf{G}| = |\mathbf{G}|^2

정리하면:

2\frac{2\pi}{\lambda}\sin\theta = n\frac{2\pi}{d}

2d\sin\theta = n\lambda

이는 브래그 법칙과 정확히 일치한다.

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5. 실험적 방법

브래그 법칙을 이용한 주요 X선 회절 실험 방법은 다음과 같다.

라우에 방법 (Laue method): 연속 스펙트럼의 X선을 단결정에 조사한다. $\lambda$ 가 연속적으로 변하므로, 고정된 $\theta$ 에서 다양한 $(hkl)$ 면이 브래그 조건을 만족한다. 결정의 대칭성 결정에 주로 사용된다.

회전 결정법 (Rotating crystal method): 단색 X선을 사용하고 결정을 회전시킨다. $\theta$ 가 연속적으로 변하면서 각기 다른 결정면이 순차적으로 브래그 조건을 만족한다.

분말법 (Powder method, Debye-Scherrer method): 단색 X선을 다결정(분말) 시료에 조사한다. 무작위 배향된 수많은 미세 결정 중 브래그 조건을 만족하는 것들이 원뿔형 회절 패턴을 형성한다. 격자 상수 결정에 널리 사용된다.

6. 응용과 확장

예제NaCl 결정의 격자 상수 결정

NaCl 결정에 파장 $\lambda = 1.54\,\text{\AA}$ (Cu $K_\alpha$ 선)의 X선을 조사하였다. $(200)$ 면에 의한 제1차 회절이 $\theta = 15.8°$ 에서 관측되었다.

브래그 법칙으로부터:

d_{200} = \frac{\lambda}{2\sin\theta} = \frac{1.54}{2\sin(15.8°)} = \frac{1.54}{2 \times 0.2723} = 2.828\,\text{\AA}

NaCl은 FCC 구조(격자 상수 $a$ )이므로:

d_{200} = \frac{a}{\sqrt{2^2+0^2+0^2}} = \frac{a}{2}

따라서:

a = 2d_{200} = 5.656\,\text{\AA} = 5.656 \times 10^{-10}\,\text{m}

이는 NaCl의 알려진 격자 상수 $a = 5.64\,\text{\AA}$ 와 잘 일치한다.

참고브래그 법칙의 보편성

브래그 법칙은 X선뿐만 아니라 전자선, 중성자선 등 모든 종류의 파동에 적용된다. 드브로이 파장 $\lambda = h/p$ 를 사용하면, 전자 회절(LEED, RHEED)과 중성자 회절에도 동일한 법칙이 성립한다. 특히 중성자 회절은 자기 구조 결정에, 전자 회절은 표면 구조 분석에 강력한 도구이다.