분산 관계 (Dispersion Relation)
1. 분산 관계의 개념
정의 2.1 분산 관계
분산 관계 (dispersion relation)란 파동의 각진동수 ω \omega ω q \mathbf{q} q ω = ω ( q ) \omega = \omega(\mathbf{q}) ω = ω ( q )
분산 관계로부터 다음의 물리량들을 추출할 수 있다:
위상 속도 : v p = ω / q v_p = \omega/q v p = ω / q 군속도 : v g = ∂ ω / ∂ q v_g = \partial\omega/\partial q v g = ∂ ω / ∂ q 상태 밀도 : g ( ω ) ∝ ∫ d S ω ∣ ∇ q ω ∣ g(\omega) \propto \int \frac{dS_\omega}{|\nabla_\mathbf{q}\omega|} g ( ω ) ∝ ∫ ∣ ∇ q ω ∣ d S ω
2. 1차원 단원자 사슬의 분산 관계
유도 단원자 사슬 분산 관계의 상세 유도
질량 M M M a a a C C C n n n u n u_n u n
M u ¨ n = − C ( 2 u n − u n − 1 − u n + 1 ) M\ddot{u}_n = -C(2u_n - u_{n-1} - u_{n+1}) M u ¨ n = − C ( 2 u n − u n − 1 − u n + 1 ) 진행파 해 u n ( t ) = A e i ( q n a − ω t ) u_n(t) = A\,e^{i(qna - \omega t)} u n ( t ) = A e i ( q na − ω t )
− M ω 2 A e i ( q n a − ω t ) = − C ( 2 − e − i q a − e i q a ) A e i ( q n a − ω t ) -M\omega^2 A\,e^{i(qna-\omega t)} = -C\left(2 - e^{-iqa} - e^{iqa}\right) A\,e^{i(qna-\omega t)} − M ω 2 A e i ( q na − ω t ) = − C ( 2 − e − i q a − e i q a ) A e i ( q na − ω t ) M ω 2 = 2 C ( 1 − cos q a ) = 4 C sin 2 q a 2 M\omega^2 = 2C(1 - \cos qa) = 4C\sin^2\frac{qa}{2} M ω 2 = 2 C ( 1 − cos q a ) = 4 C sin 2 2 q a 따라서:
ω ( q ) = 2 C M ∣ sin q a 2 ∣ \boxed{\omega(q) = 2\sqrt{\frac{C}{M}}\left|\sin\frac{qa}{2}\right|} ω ( q ) = 2 M C sin 2 q a 주요 특성:
장파장 극한 (q a ≪ 1 qa \ll 1 q a ≪ 1 ω ≈ a C / M ∣ q ∣ \omega \approx a\sqrt{C/M}\,|q| ω ≈ a C / M ∣ q ∣ v s = a C / M v_s = a\sqrt{C/M} v s = a C / M 영역 경계 (q = π / a q = \pi/a q = π / a ω max = 2 C / M \omega_{\max} = 2\sqrt{C/M} ω m a x = 2 C / M 주기성 : ω ( q ) = ω ( q + 2 π / a ) \omega(q) = \omega(q + 2\pi/a) ω ( q ) = ω ( q + 2 π / a ) ■
3. 1차원 이원자 사슬의 분산 관계
유도 이원자 사슬 분산 관계
질량 M 1 M_1 M 1 M 2 M_2 M 2 M 1 > M 2 M_1 > M_2 M 1 > M 2 a a a a / 2 a/2 a /2 n n n M 1 M_1 M 1 u n u_n u n M 2 M_2 M 2 v n v_n v n
M 1 u ¨ n = C ( v n + v n − 1 − 2 u n ) M_1 \ddot{u}_n = C(v_n + v_{n-1} - 2u_n) M 1 u ¨ n = C ( v n + v n − 1 − 2 u n ) M 2 v ¨ n = C ( u n + 1 + u n − 2 v n ) M_2 \ddot{v}_n = C(u_{n+1} + u_n - 2v_n) M 2 v ¨ n = C ( u n + 1 + u n − 2 v n ) u n = A e i ( q n a − ω t ) u_n = A\,e^{i(qna - \omega t)} u n = A e i ( q na − ω t ) v n = B e i ( q n a − ω t ) v_n = B\,e^{i(qna - \omega t)} v n = B e i ( q na − ω t )
( 2 C − M 1 ω 2 ) A − C ( 1 + e − i q a ) B = 0 (2C - M_1\omega^2)A - C(1+e^{-iqa})B = 0 ( 2 C − M 1 ω 2 ) A − C ( 1 + e − i q a ) B = 0 − C ( 1 + e i q a ) A + ( 2 C − M 2 ω 2 ) B = 0 -C(1+e^{iqa})A + (2C - M_2\omega^2)B = 0 − C ( 1 + e i q a ) A + ( 2 C − M 2 ω 2 ) B = 0 비자명 해의 조건(행렬식 = 0):
M 1 M 2 ω 4 − 2 C ( M 1 + M 2 ) ω 2 + 2 C 2 ( 1 − cos q a ) = 0 M_1 M_2 \omega^4 - 2C(M_1+M_2)\omega^2 + 2C^2(1-\cos qa) = 0 M 1 M 2 ω 4 − 2 C ( M 1 + M 2 ) ω 2 + 2 C 2 ( 1 − cos q a ) = 0 이차방정식의 근:
ω ± 2 = C ( 1 M 1 + 1 M 2 ) ± C ( 1 M 1 + 1 M 2 ) 2 − 4 sin 2 ( q a / 2 ) M 1 M 2 \omega^2_{\pm} = C\left(\frac{1}{M_1}+\frac{1}{M_2}\right) \pm C\sqrt{\left(\frac{1}{M_1}+\frac{1}{M_2}\right)^2 - \frac{4\sin^2(qa/2)}{M_1 M_2}} ω ± 2 = C ( M 1 1 + M 2 1 ) ± C ( M 1 1 + M 2 1 ) 2 − M 1 M 2 4 sin 2 ( q a /2 ) ω + \omega_+ ω + 광학 분지 (optical branch), ω − \omega_- ω − 음향 분지 (acoustic branch)이다.
■
특수한 q q q
| | 음향 분지 (ω − \omega_- ω − ω + \omega_+ ω + q = 0 q = 0 q = 0 0 0 0 2 C ( 1 / M 1 + 1 / M 2 ) \sqrt{2C(1/M_1 + 1/M_2)} 2 C ( 1/ M 1 + 1/ M 2 ) q = π / a q = \pi/a q = π / a 2 C / M 1 \sqrt{2C/M_1} 2 C / M 1 2 C / M 2 \sqrt{2C/M_2} 2 C / M 2
두 분지 사이에는 진동수 갭 (frequency gap)이 존재한다. 이 갭 내의 진동수를 가진 파동은 결정 내에서 전파할 수 없다.
4. 3차원 결정의 분산 관계
정의 2.2 동역학 행렬
3차원 결정에서 단위 셀 내 p p p q \mathbf{q} q 3 p × 3 p 3p \times 3p 3 p × 3 p 동역학 행렬 (dynamical matrix) D ( q ) D(\mathbf{q}) D ( q )
ω 2 ( q ) e = D ( q ) e \omega^2(\mathbf{q})\,\mathbf{e} = D(\mathbf{q})\,\mathbf{e} ω 2 ( q ) e = D ( q ) e 여기서 e \mathbf{e} e 3 p 3p 3 p 3 p 3p 3 p
동역학 행렬의 원소는 원자간 힘 상수의 푸리에 변환으로 주어진다:
D α β κ κ ′ ( q ) = 1 M κ M κ ′ ∑ R Φ α β κ κ ′ ( R ) e i q ⋅ R D_{\alpha\beta}^{\kappa\kappa'}(\mathbf{q}) = \frac{1}{\sqrt{M_\kappa M_{\kappa'}}} \sum_{\mathbf{R}} \Phi_{\alpha\beta}^{\kappa\kappa'}(\mathbf{R})\,e^{i\mathbf{q}\cdot\mathbf{R}} D α β κ κ ′ ( q ) = M κ M κ ′ 1 R ∑ Φ α β κ κ ′ ( R ) e i q ⋅ R 여기서 Φ α β κ κ ′ ( R ) \Phi_{\alpha\beta}^{\kappa\kappa'}(\mathbf{R}) Φ α β κ κ ′ ( R )
5. 포논 상태 밀도
정의 2.3 포논 상태 밀도
포논 상태 밀도 (phonon density of states) g ( ω ) g(\omega) g ( ω )
g ( ω ) = ∑ s ∫ BZ d 3 q ( 2 π ) 3 δ ( ω − ω s ( q ) ) = ∑ s ∫ ω s ( q ) = ω d S ω ( 2 π ) 3 ∣ ∇ q ω s ∣ g(\omega) = \sum_s \int_{\text{BZ}} \frac{d^3q}{(2\pi)^3} \,\delta(\omega - \omega_s(\mathbf{q})) = \sum_s \int_{\omega_s(\mathbf{q})=\omega} \frac{dS_\omega}{(2\pi)^3 |\nabla_\mathbf{q}\omega_s|} g ( ω ) = s ∑ ∫ BZ ( 2 π ) 3 d 3 q δ ( ω − ω s ( q )) = s ∑ ∫ ω s ( q ) = ω ( 2 π ) 3 ∣ ∇ q ω s ∣ d S ω 여기서 합은 모든 분지 s s s
상태 밀도의 특이점은 ∇ q ω s = 0 \nabla_\mathbf{q}\omega_s = 0 ∇ q ω s = 0 반 호브 특이점 (van Hove singularity)에서 나타난다. 이는 브릴루앙 영역 경계와 영역 중심 근처에서 주로 발생한다.
1차원 단원자 사슬의 경우 상태 밀도를 해석적으로 구할 수 있다:
g ( ω ) = 2 N π 1 ω max 2 − ω 2 , 0 < ω < ω max g(\omega) = \frac{2N}{\pi} \frac{1}{\sqrt{\omega_{\max}^2 - \omega^2}}, \quad 0 < \omega < \omega_{\max} g ( ω ) = π 2 N ω m a x 2 − ω 2 1 , 0 < ω < ω m a x 이는 ω → ω max \omega \to \omega_{\max} ω → ω m a x
6. 실험적 측정
참고 비탄성 중성자 산란
포논 분산 관계를 실험적으로 측정하는 가장 직접적인 방법은 비탄성 중성자 산란 (inelastic neutron scattering, INS)이다. 열중성자의 드브로이 파장이 격자 상수와 비슷하고 (λ ∼ 1 – 5 A ˚ \lambda \sim 1\text{--}5\,\text{\AA} λ ∼ 1 – 5 A ˚ E ∼ 10 – 100 meV E \sim 10\text{--}100\,\text{meV} E ∼ 10 – 100 meV
산란 조건:
ℏ k f = ℏ k i − ℏ q + ℏ G \hbar\mathbf{k}_f = \hbar\mathbf{k}_i - \hbar\mathbf{q} + \hbar\mathbf{G} ℏ k f = ℏ k i − ℏ q + ℏ G E f = E i ∓ ℏ ω s ( q ) E_f = E_i \mp \hbar\omega_s(\mathbf{q}) E f = E i ∓ ℏ ω s ( q ) − - − + + +